2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 4b

Parte B Determine a coordenada x do ponto onde g tem um máximo absoluto no intervalo, menos quatro é menor ou igual a x, menor ou igual a três. E justifique sua resposta. Então vamos pensar de uma forma geral. Se apenas pensarmos numa função geral sobre um intervalo onde poderia haver um máximo absoluto? Então deixe-me esboçar alguns eixos aqui. Agora estou falando em termos gerais primeiramente, e então podemos voltar para nossa função g que é derivada desta função, f, bem aqui. Então digamos que estes são meus eixos para as coordenadas. E digamos que nos importamos com algum intervalo aqui. Então, digamos que este é o intervalo que me interessa. Uma função poderia parecer com algo assim. E neste caso, seu máximo absoluto ocorrerá no início do intervalo. Ou, uma função poderia parecer com algo assim. Poderia parecer com aquilo ali. E então o máximo absoluto poderia ocorrer no ponto final do intervalo, ou outra possibilidade é que a função se pareça com algo assim. Na qual o máximo absoluto estaria neste ponto crítico. E eu digo ponto crítico para opor a apenas um ponto onde a inclinação é zero porque é possível que a função não seja diferenciável neste ponto. Você poderia imaginar uma função que se pareça com isso. E talvez não fosse diferenciável ali mas aquele ponto ainda seria o máximo absoluto. Então tudo o que temos que fazer é estudar g nos diferentes pontos extremos deste intervalo para ver o quão alta ela chega, ou o quão grande é o valor que temos para g nos extremos. E então temos que ver se g tem algum ponto crítico no meio, e então avaliar neste ponto para ver se é um candidato para o máximo global. Então vamos apenas avaliar g nos diferentes extremos. Então vamos começar, vamos avaliar g em menos quatro como sendo o extremo inferior ou o ponto inicial do nosso intervalo. Então, g de menos quatro é igual a duas vezes menos quatro, mais a integral de zero a menos quatro de f de t dt. A primeira parte é bem fácil. Duas vezes menos quatro, é menos oito. Deixe-me fazer aqui para que eu tenha um bom espaço. Então isto é igual a menos oito. E ao invés de deixar isto de zero a menos quatro f de t dt vamos mudar os limites de integração aqui, especialmente para termos o menor número como o menor limite. E assim fica mais natural pensar nela em termos de áreas. Então esta expressão aqui pode ser resscrita como menos a integral entre menos quatro e zero f de t dt. E esta expressão bem aqui é a área sob f de t, ou neste caso, f de x, ou a área sob f, entre menos quatro e zero. Então é esta área bem aqui. E nós temos que ter cuidado porque esta parte aqui está abaixo do eixo x portanto temos que considerar área negativa, quando pensamos nela em termos de integração, e esta seria a área positiva. Então a área total será a área positiva menos esta área bem aqui. Então vamos pensar o que é isto. Então esta área, esta seção bem aqui, nós fizemos na parte A na verdade. Esta seção é, isto é um quarto de círculo, então é um quarto. Então ambas são um quarto de círculo. Então, podemos multiplicar um quarto vezes a área deste círculo inteiro, se fôssemos desenhar ele como um todo. Ele tem raio 3, então a área do círculo todo seria pi vezes três ao quadrado, ou, nove pi. E claro dividiremos isto por quatro, multiplicar por um quarto, para obtermos apenas este quarto de círculo. E então esta área bem aqui, a área do círculo todo, nós temos um raio de um, então será pi vezes um ao quadrado, que é apenas pi e nós vamos dividir por quatro, porque é apenas um quarto daquele círculo. E nós vamos subtrair isto. Então temos menos pi e vamos multiplicar por um quarto aqui porque é um quarto de círculo em ambos os casos. E estamos subtraindo isto porque a área está sob o eixo x. E então isto simplifica para, isto é igual a um quarto vezes oito pi que é o mesmo que dois pi. Um quarto vezes oito pi, então tudo isto simplifica para dois pi. Então, g de menos quatro é igual a menos oito menos 2 pi. Então claramente, um número negativo aqui, mais negativo que menos oito. Então vamos tentar o outro limite, vejamos quanto é g de mais três. Vamos ver quanto é g de mais três. -- farei aqui para ter mais espaço -- Então g de mais três, quando x é igual a três, nós voltamos para nossa definição que é duas vezes três mais a integral de zero a três f de t dt. E isto será igual a: Duas vezes três é seis. E a integral de zero a três de f de t dt, que é esta área toda, então temos uma área positiva aqui, e aqui temos uma área igual negativa, porque está abaixo do eixo x. Então a integral de zero a três será apenas zero. Você tem esta área positiva, e então esta área negativa aqui irão se cancelar completamente, porque é simétrico bem aqui. Então, esta coisa será calculada como zero. Então g de três é seis. Então já sabemos que nosso ponto inicial, g de menos quatro, quando x é igual a menos quatro, não é onde g atinge um máximo global. Porque isto é um número negativo, já encontramos o ponto extremo onde g possui valor positivo. Então, menos 4 definitivamente não é um candidato. Três, x igual a três ainda está na disputa para candidato onde g possui seu máximo global absoluto. Agora o que temos que fazer é descobrir quaisquer pontos críticos que g possui no meio do intervalo. Então pontos que são indiferenciáveis ou onde sua derivada seja igual a zero. Então vamos ver sua derivada, g linha de x Vou apenas tomar a derivada deste negócio aqui derivada de dois x é dois. Derivada deste intervalo definito de zero a x de f de t dt, fizemos isto na parte A. Este é apenas o teorema fundamental do cálculo. Isto será apenas, mais f de x bem ali. Então na realidade temos que g é diferenciável em todo o intervalo. Tomando qualquer valor para x neste intervalo. Nós temos um valor de f de x. f de x não é diferenciável em todos os lugares Mas há definitivamente, f de x é definido em todos os pontos do intervalo. Então você terá um número aqui. E obviamente dois é apenas dois. E você some dois a isto e você terá a derivada de g naquele ponto do intervalo. Então g é de fato diferenciável sobre todo o intervalo. Então os únicos pontos críticos seriam onde esta derivada é igual a zero. Então coloquemos esta coisa igual a zero. Então queremos resolver a equação -- na realidade vou reescrever apenas -- Então queremos resolver a equação g linha de x é igual a zero. Ou dois mais f de x é igual a zero. Você pode subtrair dois de ambos os lados, e você terá f de x é igual a menos dois. Então, qualquer x que satisfaça f de x igual a menos dois é um ponto onde a derivada de g é igual a zero. E vamos ver se f de x é igual a menos dois em qualquer ponto. Então deixe-me desenhar uma linha aqui em menos dois. Em menos dois temos que notar visualmente porque nos é dada apenas esta definição visual de f de x. Não é igual a menos dois. É apenas igual a menos dois bem ali. E parece que estamos em mais ou menos dois e meio. Mas vamos calcular exatamente, vamos determinar de fato a inclinação da linha e descobrir qual o valor exato que nos dá f de x igual a menos dois. Nós poderíamos descobrir a inclinação desta linha visualmente. Ou descobrir a equação desta linha bem visualmente. Nós podemos definir a inclinação se percorrermos três. Então, variação em x, se nossa variação em x é três, então, nossa variação em y, nossa elevação é menos seis. Variação em y é igual a menos seis. Inclinação é aumento sobre a série, ou variação em y sobre a variação em x. Então, menos seis dividido por três é menos dois. Tem uma inclinação de menos dois. E na realidade, eu poderia ter feito mais facilmente. Onde se fomos um para frente, vamos dois para baixo. Poderíamos ter visto isso. A inclinação é menos dois. Nesta parte de f de x nós temos que y é igual a menos dois x mais -- e então o y intercepta, e isto é bem óbvio isto é em três, um, dois, três -- mais menos dois x mais três. Então qual parte de f de x que claramente se iguala a menos dois em algum ponto disto. Esta parte de f de x é definida por esta linha, óbvio esta parte de f de x não é definida por aquela linha. Mas para descobrir o valor exato, temos que apenas descobrir quando esta linha é igual a menos dois. Então temos menos dois x, mais três, é igual a menos dois. E lembre-se, isto é o que f de x é igual no o intervalo que nos interessa. Se estivéssemos falando sobre f de x ali, não poderíamos colocar menos dois x mais três. Nós teríamos que ter alguma forma de equação para estes círculos. Mas bem aqui, isto é o que f de x é, e agora podemos resolver isto bem diretamente. Então podemos subtrair três de ambos os lados, e temos que menos dois x é igual a menos cinco. Dividimos ambos os lados por menos dois, teremos x é igual a menos cinco sobre menos dois que é igual a cinco meios. O que é extamente o que pensamos que seria quando notamos visualmente, pareceu que estávamos aproximadamente dois e meio, o que é o mesmo que cinco meios. Agora, não sabemos o que é isto. Não sabemos se é um ponto de inflexão. Se é um ponto máximo? Se é um mínimo? Então, nós realmente só queremos avaliar g neste ponto, para ver se ficará maior do que calculamos em g igual a três. Então, calculemos g. Calculemos g em cinco meios. Então g em cinco meios será igual a 2 vezes 5 meios, mais a integral de zero a cinco meios, de f de t dt. Então nesta primeira parte bem aqui, os dois se cancelam. Então isto será igual a, cinco, então mais a integral de zero a cinco meios. Agora, você pode ser capaz de fazer isto visulamente mas nós sabemos qual é o valor de f de t sobre este intervalo. Nós já descobrimos a equação para ele sobre este intervalo. Então, é a integral de menos dois x mais três dt, então vamos calcular isto. -- deixe-me pegar algum espaço, vamos desenhar uma linha aqui para nao ficarmos confusos -- Então isto será igual a cinco, e então tome a antiderivada de menos dois x que é menos x ao quadrado. Então temos menos x ao quadrado, e a antiderivada de três será apenas três x. Então três x e vamos avaliar de zero a cinco meios. Então isto será igual a cinco mais -- e farei estas coisas bem aqui. Farei estas coisas em verde -- Então quando calculamos isto em cinco meios será igual a menos cinco meios ao quadrado. Será menos 25 sobre quatro, mais três vezes cinco meios que é 15 sobre dois, e então, vamos subtrair isto avaliado em zero, mas menos zero ao quadrado mais três vezes zero é apenas zero. Então é nisto que se simplifica, e o que temos bem aqui. Então vamos tomar um denominador em comum. Parece que um denominador comum aqui pode ser quatro. Então isto é igual a, cinco é o mesmo que 20 sobre quatro menos 25 sobre quatro e então mais 30 sobre quatro. Então 20 mais 30 é 50, menos 25 é 25. Então isto é igual a 25 sobre quatro, e 25 sobre quatro é o mesmo que seis e um quarto. Então quando calculamos nossa função neste ponto crítico, neste ponto onde a curva, ou a derivada, é igual a zero, nós temos seis e um quarto, que é maior que seis, que era g neste extremo, e é definitivamente maior do que o que era g em menos 4. Então, a coordenada x do ponto onde g tem um máximo absoluto no intervalo de menos 4 a 3, é x igual a cinco meios. [legendado por: Khallil Fernandes revisado por: Guilherme Hubner]