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2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 5a

Usando uma reta tangente para extrapolar uma função de uma condição inicial conhecida. Versão original criada por Sal Khan.

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RKA14C Questão número 5: "No começo de 2010, um aterro sanitário continha 1400 toneladas de lixo sólido." "A função crescente W descreve a quantidade" "de lixo sólido total contida no aterro." "É estimado que W satisfará a equação diferencial" "dw/dt = 1/25 vezes (W - 300)" "para os próximos 20 anos." "Como W representa a quantidade de lixo sólido," "ele é medido em toneladas." "E t, como representa o tempo, é medido em anos" "a partir de 2010." Letra A: "Use a reta tangente ao gráfico de W em t = 0" "para aproximar a quantidade" "de lixo sólido que o aterro continha no final" "dos três primeiros meses de 2010." Como o tempo está medido em anos, 3 meses representa um tempo igual a 1/4 de ano. O que nós temos que fazer agora é tentar encontrar um valor próximo à quantidade de lixo sólido que o aterro continha no final desses 3 primeiros meses de 2010. No entanto, a gente não tem a função W, ou seja, a função que descreve para nós a quantidade de lixo sólido. Porém, temos uma equação diferencial para essa função W. Ou seja, nós temos aqui dw/dt. Claro, como o problema está pedindo para determinar uma aproximação da quantidade de lixo por meio da reta tangente, nós podemos utilizar essa equação diferencial para realizar essa aproximação. Só para conseguirmos visualizar um pouco essas ideias, vamos traçar um gráfico aqui que representa essa função W, que não conhecemos, em relação ao tempo. O problema falou que, no começo de 2010, aqui no início, o aterro sanitário já continha 1400 toneladas de lixo sólido. A gente pode até representar isso aqui. Vamos supor que aqui, neste ponto, tenhamos 1400 toneladas de lixo. Como essa função é crescente, a partir desse ponto, vamos ter um aumento na quantidade de lixo sólido. Então, vamos representar isso mais ou menos deste jeito. Como é uma função crescente, podemos colocar assim. Eu não conheço a função, tudo bem? Isto aqui é apenas uma representação. No entanto, aqui neste ponto, a gente tem uma reta tangente, certo? Uma reta tangente que é mais ou menos desse jeito. Então, esta é a reta tangente nesse ponto igual a zero. Mas quem determina para a gente a inclinação dessa reta tangente? É a derivada, certo? A derivada de W em relação ao tempo. Então, a gente pode pegar essa equação diferencial, que é a derivada de W em relação ao tempo, e reescrever aqui de uma outra forma. A gente poderia colocar assim, desse jeito: que W', que é a derivada de W, em relação ao tempo, vai ser igual a esta equação diferencial aqui, 1/25 vezes W(t), já que é a função W em função ao tempo, menos 300. E o resultado dessa derivada indica para a gente a inclinação da reta tangente em qualquer ponto ao longo dessa função W. Neste ponto aqui, t = 0, a gente vai ter uma inclinação W' em um t = 0. Como nós podemos determinar a inclinação nesse ponto igual a zero? Simples, substituindo nessa função os valores que a gente já conhece para esse t = 0. Por exemplo, se a gente quer determinar a derivada de W em um t = 0, a gente vai colocar aqui 1/25, conforme a gente já tem, o W(t) nesse tempo igual a zero... Então, vamos colocar aqui: W(0) - 300. Agora, só temos um problema. Qual seria esse W no tempo igual a zero? Bem, o problema disse para a gente aqui que, no começo de 2010, que é o nosso tempo inicial, o aterro sanitário já continha 1400 toneladas de lixo sólido. Então, W(0), que é a quantidade de lixo sólido neste t = 0, já é igual a 1400. Então, nós vamos ter que: W'(0) = 1/25 vezes 1400 - 300. E 1400 menos 300 é igual a 1100. Agora, basta responder isto aqui. 1/25 vezes 1100 é a mesma coisa que 1100 dividido por 25. E 1100 dividido por 25 é igual a 44 toneladas de lixo tóxico por ano. Então, nesse momento inicial, W', que representa a inclinação dessa reta tangente, é igual a 44. Então, isso tem uma inclinação igual a 44. A inclinação da nossa reta tangente nesse tempo igual a zero é igual a 44. Bem, mas não é isso que o problema está pedindo, certo? Ele está pedindo para utilizar a reta tangente que passa nesse ponto t = 0 para realizar uma aproximação da quantidade de lixo sólido que o aterro continha no final dos 3 primeiros meses de 2010. Ou seja, em um tempo igual a 1/4. Vamos fazer um novo gráfico para começar a brincar um pouco com essas ideias. Então, aqui a gente tem o nosso W, e aqui nós temos o tempo medido em anos, tudo bem? Aqui, a nossa função W está partindo deste ponto aqui mais ou menos. Claro, é apenas uma representação, porque a gente não conhece a função W. No ponto inicial, a gente já tem 1400 toneladas de lixo. Passando pelo t = 0, a gente tem uma reta tangente com uma inclinação igual a 44, conforme a gente fez aqui. Supondo que a taxa de crescimento de lixo sólido no decorrer do ano fosse constante, a cada ano, a quantidade de lixo sólido nesse aterro iria aumentar 44 toneladas. Então, por exemplo, se aqui a gente estivesse em um t = 1... Um o quê? Um ano além de 2010, então seria 2011, por exemplo. Um ano depois que a gente começou a observar a quantidade de lixo sólido nesse aterro. Neste ponto aqui, a gente teria o quê? 1400 + 44 toneladas de lixo sólido. Claro, isso se essa taxa de crescimento fosse constante. A gente não pode afirmar muita coisa em relação a isso, certo? Mas a gente pode realizar algumas aproximações, conforme o problema está pedindo. O problema está pedindo para realizar uma aproximação aqui no tempo igual a 1/4 de ano. Seria aqui, neste t = 1/4. A gente vai encontrar uma quantidade neste ponto aqui... Tudo bem que não é necessariamente a quantidade de W, mas é uma boa aproximação que a gente pode realizar. Como a gente consegue determinar essa quantidade? Para determinar essa quantidade em um tempo t qualquer, a gente teria aqui a quantidade de lixo sólido... Vamos colocar aqui Wʟ de lixo sólido vai ser igual a 44 vezes t, já que isso representa a taxa de crescimento de lixo sólido no decorrer do ano, ou seja, 44 vezes o tempo, mais o que a gente já tem inicialmente, que é 1400 toneladas. Bem, como queremos saber a quantidade de lixo em um tempo igual a 1/4, basta substituir este tempo aqui por 1/4. Então, a gente vai ter que a quantidade de lixo sólido nesse tempo igual a 1/4 vai ser igual a: 44 vezes 1/4 + 1400. 44 vezes 1/4 é igual a 11. Deixa eu subir um pouco aqui. Então, a gente vai ter aqui: 11 + 1400 = 1411 toneladas. Então, nós temos, ao final desses três meses, 1411 toneladas de lixo sólido. Claro, nós fizemos isso por meio de uma aproximação da reta tangente que passa nesse ponto t = 0.