2011 Cálculo AB Questão discursiva n° 5c

RKA4JL - A [questão] número 5 novamente aqui. No começo de 2010, um aterro sanitário continha 1.400 toneladas de lixo sólido. A função crescente W descreve a quantidade de lixo sólido total contida no aterro. É estimado que W satisfará a equação diferencial dW/dt igual a 1 sobre 25 vezes (W menos 300) para os próximos 20 anos. W é medido em toneladas e t é medido em anos, isso a partir de 2010. Agora vamos resolver a letra (c): ache a equação particular W, como uma função de tempo, para a equação diferencial dW/dt igual a 1/25 vezes (W menos 300), com a condição inicial W(0) igual a 1.400. Você talvez olhe para essa questão e fale "Olha, isso não é muito justo. Como pode cair uma questão dessas em uma prova em que não deveriam cair equações diferenciais tão complexas?" Pois bem, essa não é uma equação diferencial muito complexa e você consegue resolvê-la apenas fazendo um processo de separação e utilizando o método de integração. Depois que fizer isso, você vai conseguir encontrar essa solução particular para W. Vamos lá, vamos fazer isso aqui agora. A primeira coisa que nós temos que fazer é pegar essa equação diferencial. Nós sabemos que dW/dt é igual a 1/25 vezes W, este aqui é W(t), a função W(t), menos 300. Então a gente tem aqui (W menos 300), tudo bem? Agora que a gente já colocou essa equação diferencial aqui, o que nós precisamos fazer é separar esse dW/dt, ou seja, colocar tudo que tem W de um lado e colocar tudo que tem t do outro. Como que nós podemos fazer isso? Pegando essa parte de (W menos 300), levando para lá de alguma forma e pegando esse dt e trazendo para cá de alguma forma. Como nós podemos fazer isso? Nós podemos fazer isso dividindo os dois lados da equação por (W menos 300). Assim nós vamos ter deste lado esquerdo 1 sobre (W menos 300) vezes dW/dt e isso sendo igual a apenas 1/25. Mas porque apenas 1/25? Como nós dividimos por (W menos dt) dos dois lados da equação, a gente trouxe esse W menos 300 para cá e deste outro lado direito a gente cancelou com esse valor que estava aqui no numerador, com W menos 300 que estava aqui no numerador, sobrando apenas 1/25. Agora que a gente precisa fazer é levar esse dt para o outro lado também. Como que a gente pode fazer isso? Multiplicando por dt os dois lados dessa equação. Assim a gente cancela esse dt com este dt e ficamos apenas com o dW desse lado e com dt aqui do lado direito. Depois de utilizar esse método de separação, a gente vai ter apenas 1 sobre (W menos 300) dW isso sendo igual a 1/25 dt. Agora que a gente já fez esse processo de separação, nós podemos realizar um processo de integração dos dois lados da igualdade, desse lado em relação a W e desse lado em relação a t. Então vamos fazer isso. Vamos integrar em relação a W e integrar aqui em relação a t. Para realizar a integral de 1 sobre (W menos 300), nós podemos utilizar um método de substituição. Como? Substituindo esse (W menos 300) por "u", ou seja, a gente fala que u é igual a (W menos 300). Agora para encontrar alguma coisa que a gente possa substituir no lugar dW e colocar em relação a u, a gente pode derivar isso aqui em relação a W. Assim a gente vai ter que a derivada de u em relação a W vai ser igual... Qual é a derivada de (W menos 300) em relação a W? 300 é uma constante. A derivada de uma constante é igual a zero e a derivada de W em relação a W é igual a 1. Então nós vamos ter que du é igual a dW. Então nós já podemos fazer a substituição aqui, agora, inclusive integrar esse lado aqui. A gente sabe que a integral de 1 sobre (W menos 300), que é igual a u, dW, que nesse caso é du, vai ser igual a quanto? A integral de (1 sobre u) du é igual ao logaritmo natural do módulo de u. Então o resultado dessa integral é igual ao logaritmo natural de u. Só que u não é igual a (W menos 300)? Então a gente pode dizer que isso vai ser igual ao logaritmo natural do módulo de (W menos 300). Então a gente pode continuar agora fazendo essa integral. Nós temos que o resultado dessa integral vai ser o logaritmo natural do módulo de (W menos 300), isso sendo igual à integral de 1/25 dt. Qual é a integral de 1/25 dt? É apenas t sobre 25. Por que t/25? 1/25 é uma constante, eu a coloco para fora da integral, assim nós vamos ter apenas a integral de dt, que é o próprio t. 1/25 vezes t é a mesma coisa que t/25, certo? Como se trata de uma integral indefinida, nós vamos ter ainda uma constante aqui. Um detalhe é que eu poderia colocar essa constante dos dois lados, afinal de contas a integral é dos dois lados. Assim a gente teria ln do módulo de (W menos 300) mais uma constante igual a t/25 mais uma constante. Mas então eu pegaria essa constante e passaria para o outro lado, subtraindo, assim a gente teria uma constante menos uma outra constante que teria como resultado apenas uma constante. Então eu posso deixar essa constante apenas desse lado aqui que não vai ter problema nenhum. A gente já chegou próximo a uma expressão aqui, agora, só que a gente precisa encontrar o valor dessa constante. Para encontrar o valor dessa constante, a gente precisa de alguma condição inicial, e o problema forneceu isso para gente. O problema nos disse que W em um tempo igual a zero é igual a 1.400. Então nós podemos substituir essas informações nessa expressão aqui para encontrar o valor dessa constante. Então nós vamos ter que o logaritmo natural de W, que nesse caso vai ser 1.400, menos 300, é igual ao tempo zero, porque ele falou "em um tempo igual a zero que a gente tem W igual a 1.400", então nós vamos ter zero sobre 25 mais uma constante. Assim nós vamos ter que o logaritmo natural de 1.400 menos 300, que é igual a 1.100, (ou seja, o módulo de 1.100, não podemos esquecer isso) vai ser igual a essa constante. Como 1.100 é um número positivo, o logaritmo natural do módulo de 1.100 é o próprio logaritmo natural de 1.100. Assim nós chegamos à conclusão que essa constante vai ser igual ao logaritmo natural de 1.100. Agora que já temos essa constante, nós podemos voltar aqui em cima, nessa expressão aqui, e substituir a constante pelo logaritmo natural de 1.100. Então vamos fazer isso aqui agora. Nós temos que essa expressão vai ser igual ao logaritmo natural do módulo de (W menos 300) isso sendo igual a um tempo t qualquer sobre 25 mais a constante, onde nossa constante é o ln(1.100). Um detalhe interessante também aqui é que o problema falou para a gente que nossa função W é crescente, e que o valor inicial de W é 1.400. Assim a gente sempre vai ter um valor acima de 1.400 aqui. Um valor acima de 1.400 menos 300 sempre vai ser um valor positivo, certo? Então aqui nós sempre vamos encontrar como resposta um valor positivo. Sendo assim, o módulo de um valor positivo é o próprio valor positivo, então nós podemos tirar esse módulo desse ln e dizer apenas que este logaritmo natural vai ser o logaritmo natural de (W menos 300), já que sempre vai ser um valor positivo. Agora o que nós precisamos fazer é resolver essa expressão para esse dado. Como é que nós podemos resolver essa expressão para esse dado? A gente pode encontrar uma forma de eliminar esse ln daqui. Como podemos fazer isso? Aplicando o exponencial dos dois lados, o "e". Assim nós vamos ter aqui do lado esquerdo e elevado ao ln(W menos 300) isso sendo igual a e elevado a (t/25 mais ln(1.100)). Quando nós temos e elevado ao ln de alguma coisa, a resposta vai ser essa coisa. Então e elevado ao ln(W menos 300) é igual a (W menos 300), isso sendo igual a quê? Nós podemos aplicar uma propriedade de potenciação aqui e dizer o seguinte: "Olha, todas as vezes que a gente tem um número elevado a uma soma, isso vai ser igual ao número elevado ao primeiro termo vezes esse número elevado ao segundo termo". Assim nós vamos ter e elevado a (t/25) vezes e elevado ao ln(1.100). Isso é interessante porque novamente nós chegamos àquela conclusão. Quanto vale e elevado ao ln(1.100)? Todas as vezes que a gente tem “e” elevado ao ln de alguma coisa, a resposta é essa coisa. Então tudo isso daqui vai ser igual, apenas, a 1.100. Então nós vamos ter W menos 300 sendo igual a e elevado a t/25 vezes 1.100. Agora para isolar o W basta somar por 300 dos dois lados. Assim nós vamos ter que W vai ser igual a 1.100 vezes e elevado a t/25 mais 300. Então esta é a função particular de W em relação ao tempo que nós estávamos querendo encontrar. Então essa é a nossa resposta. Novamente, isso aqui não é um problema muito complexo porque você pode utilizar as próprias ferramentas de equação diferencial que eu já mostrei para você aqui. Então por mais que você se assuste, o máximo que pode cair em uma prova dessa é esse tipo de problema, ok?