2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 6b

RKA10MP – Número 6: seja “f uma função dada por f(x) igual a 1 - 2 sen de “x” para “x” menor ou igual a zero e e⁻⁴ˣ para “x” maior que zero. Letra (b): para “x” diferente de zero, expresse f'(x) como múltiplas subfunções. Ache o valor de “x” para o qual f'(x) é igual a -3. E a primeira coisa que você pode observar aqui é que temos que expressar esta derivada em relação a estas subfunções. E observe também que o domínio desta derivada não está definido para valores que são iguais a zero. Quando a gente fizer estas múltiplas subfunções, temos que ficar atentos a esse detalhe. Vamos lá. Para a gente derivar esta função f(x), ou seja, obter f'(x), podemos derivar estas duas funções, ficando apenas atentos a este detalhe, em que “x” tem que ser diferente de zero. E derivando f(x), a gente pode derivar esta primeira subfunção. E qual vai ser a derivada de 1 - 2 sen “x”? A derivada de 1 é zero, e a derivada de -2 sen “x” é igual a -2 vezes cos “x”. E isso é definido em qual intervalo? Definido no intervalo em que “x” é menor que zero. Novamente, não posso dizer que “x” é igual a zero, porque no momento em que “x” for igual a zero, a gente vai ter coisas estranhas acontecendo nesta função, tudo bem? Então é por isso que a derivada não está definida para “x” igual a zero. Derivando a segunda subfunção, que é e⁻⁴ˣ, a gente vai ter que usar a regra da cadeia, ou seja, derivar esta função de dentro e multiplicar pela derivada da função de fora. Quanto vale a derivada de -4x? -4, não é? E qual é a derivada de “e”? É o próprio “e”. Então a gente tem -4 vezes e⁻⁴ˣ, e isso definido no intervalo em que “x” é maior que zero. Já fizemos a primeira parte, agora a gente vai fazer a segunda parte, ou seja, encontrar o valor de “x” para o qual a derivada de f(x) seja igual a -3. Eu sei que a derivada da função é igual a -3, então tenho que encontrar este valor para “x” que atenda essa necessidade. Mas uma dúvida que vem à nossa mente: qual das duas subfunções vamos usar para substituir este f'(x) e igualar com este -3? A gente tem que fazer uma análise dessas duas subfunções e ver em qual das duas podemos encontrar uma derivada que seja igual a -3. Como sabemos, a função cosseno só pode ter uma imagem que vai variar de -1 a 1, independente do valor que eu colocar aqui em “x. Então se eu multiplicar -2 por um valor que está entre -1 e 1, nunca vou encontrar um valor igual a -3. Por outro lado, utilizando esta subfunção de baixo, podemos encontrar um valor que seja igual a -3, então vai ser esta subfunção desta derivada que vamos igualar com este -3 para encontrar este valor de “x”. Vamos fazer isso agora. Pegando esta subfunção -4 vezes e⁻⁴ˣ, que é a derivada de f(x), vamos igualar isso aqui com -3. Dividindo por -4 dos dois lados da igualdade, a gente tem e⁻⁴ˣ do lado esquerdo e ¾ do lado direito. E agora, como a gente consegue isolar este “x”? Para fazer isso, precisamos aplicar o logaritmo natural dos dois lados da igualdade. Assim, a gente vai ter ln(e⁻⁴ˣ) e ln(¾). O ln(e⁻⁴ˣ) é igual a -4x. Então a gente tem que -4x vai ser igual a ln(¾). Dividindo por -4 dos dois lados da igualdade, a gente chega a esta expressão: “x” vai ser igual a -¼ vezes ln(¾). Então este é o valor de “x” na qual a derivada da função vai ser igual a -3. Mas aí você vai falar: esta função não está definida para valores maiores que zero? Por que encontrei um valor menor que zero? Não, não é um valor menor que zero. E por que não? Se você calcular o logaritmo de ¾, vai encontrar um valor negativo. E aqui tenho um valor negativo. Se a gente multiplicar um valor negativo por um valor negativo, vamos encontrar um valor positivo, ou seja, um valor que está definido para esta função. Então, sim, podemos dizer que a derivada, quando “x” é igual a -¼ de ln(¾), vai ser igual a -3.