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Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 8
Lição 1: Questões de cálculo avançado AB- Cálculo Avançado AB/BC 2015 1ab
- Cálculo Avançado AB/BC 2015 1d
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- Cálculo Avançado AB/BC 2015 3a
- Cálculo Avançado AB/BC 2015 3b
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- Cálculo Avançado AB 2015 6a
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- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 1a
- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 2 (a e b)
- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 2 (c e d)
- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 3 (a e b)
- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 3 (c)
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- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 6c
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Cálculo Avançado AB 2015 5a
Máximos de f a partir do gráfico de f'.
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Transcrição de vídeo
RKA2G - A figura acima mostra o gráfico de f', a derivada de uma função
duas vezes diferenciável "f", em um intervalo indo de -3 a 4. O gráfico de f' tem tangentes horizontais em x = -1, x = 1 e x = 3. Se nós temos tangentes horizontais, significa que temos uma reta tangente
neste ponto x = -1, sendo horizontal, em x = 1 também temos uma reta
tangente sendo horizontal e aqui em x = 3 também temos
uma reta horizontal. Então, temos aqui neste gráfico f',
nestes três pontos, estas retas horizontais,
retas tangentes horizontais. As áreas das regiões delimitadas pelo eixo "x" e o gráfico de f' do intervalo de -2 a 1
e de 1 a 4 são 9 e 12, respectivamente. Então, a área de -2 a 1 corresponde
a toda esta área. E a área indo do intervalo 1 a 4
corresponde a esta outra área. E, como a questão disse, esta primeira
área tem um valor igual a 9 e esta outra área tem um valor igual a 12. Letra A: "Encontre todas as coordenadas "x"
em que "f" tem um máximo relativo. Explique a sua resposta." A primeira coisa que você poderia
olhar para este gráfico e dizer é: "Olha, aqui neste ponto x = 1 é
um ponto de máximo relativo." Errado, porque este gráfico não é
o gráfico da função "f", mas sim o gráfico da derivada f'. Então, como poderíamos determinar
e indicar o ponto "x" aqui, em que tivéssemos um ponto
de máximo relativo? Uma forma de fazer isso seria observando a definição de máximo relativo. Todas as vezes que nós tivermos um gráfico
deste jeito, uma espécie de nódulo, poderia ser desse jeito, mas também
poderia ser deste jeito, desde que a função fosse totalmente
diferenciada neste intervalo. Aqui teríamos um ponto de máximo relativo e aqui também teríamos
um ponto de máximo relativo. Mas vamos observar este primeiro gráfico. O ponto de máximo relativo seria aqui.
Vou fazer com outra cor. Aqui a gente teria um ponto
de máximo relativo. Se você observar bem, aqui a gente
tem uma função e está aumentando. Temos uma função que está ficando
cada vez maior. E, se observarmos a reta tangente
em cada um destes pontos, sempre vamos encontrar
uma inclinação positiva. E a inclinação da reta tangente é determinada
através da derivada da função. Isto significa o quê? Que, todas as vezes que a gente
tem uma função aumentando, vamos ter uma derivada dessa função,
ou seja, um f'(x), sendo positivo. Todas as vezes que a função está
aumentando, como neste caso, vamos ter a derivada dessa função
sendo maior que zero, sendo positiva. Aqui temos um ponto e, depois desse ponto, a gente observa
que a função vai começar a diminuir. E, se você observar a inclinação aqui
em qualquer ponto, vai ver que a inclinação sempre
vai ser negativa. Ou seja, a derivada da função
vai ser negativa. Então, podemos dizer que, todas as vezes
que a gente tem a função diminuindo, a derivada dessa função, ou seja f'(x), vai ser negativa. E o que isto nos mostra? Isto nos mostra que, para um ponto
ser um ponto de máximo relativo, antes desse ponto a gente tem que
ter uma derivada positiva e depois desse ponto a gente tem
que ter uma derivada negativa. O ponto de máximo relativo da função
vai ser aquele ponto em que está ocorrendo uma transição
da derivada sendo positiva para negativa. Podemos até anotar isso aqui. As coordenadas... Vamos colocar aqui... As coordenadas "x" que possuem uma transição de f'(x) positivo para f'(x) negativo são pontos de máximos relativos para f(x). Então, todas as vezes que
temos um ponto "x" em que está ocorrendo uma transição
entre uma derivada positiva para uma derivada negativa
dessa função f(x), nós vamos ter, nesse ponto,
um ponto de máximo relativo. Vamos observar onde está ocorrendo
aqui no gráfico. Como você pode observar, o único intervalo em que a gente
tem valores positivos para a derivada f' é aqui, vindo do -3 ao -2. Quando chega neste ponto x = -2, a gente tem uma transição
para valores negativos. Então, o ponto em que está
ocorrendo uma transição da derivada negativa para a derivada positiva é o ponto x = -2. Podemos anotar isto, inclusive. Este ponto é o x = -2.