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Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 8
Lição 1: Questões de cálculo avançado AB- Cálculo Avançado AB/BC 2015 1ab
- Cálculo Avançado AB/BC 2015 1d
- Cálculo Avançado AB 2015 2a
- Cálculo Avançado 2015 2c
- Cálculo Avançado AB/BC 2015 3a
- Cálculo Avançado AB/BC 2015 3b
- Cálculo Avançado AB/BC 2015 3cd
- Cálculo Avançado AB/BC 2015 4ab
- Cálculo Avançado AB/BC 2015 4cd
- Cálculo Avançado AB 2015 5a
- Cálculo Avançado AB 2015 5b
- Cálculo Avançado AB 2015 5c
- Cálculo Avançado AB 2015 5d
- Cálculo Avançado AB 2015 6a
- Cálculo Avançado AB 2015 6b
- Cálculo Avançado AB 2015 6c
- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 1a
- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 2 (a e b)
- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 2 (c e d)
- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 3 (a e b)
- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 3 (c)
- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 4a
- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 4b
- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 4c
- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 4d
- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 5a
- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 5b
- 2011 Cálculo AB Questão discursiva n° 5c
- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 6a
- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 6b
- 2011 Cálculo AB - Questão discursiva nº 6c
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Cálculo Avançado AB 2015 5b
Intervalos onde f é côncava para baixo e decrescente.
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Transcrição de vídeo
RKA22JL - A figura acima
mostra o gráfico de f', a derivada de uma função
duas vezes diferenciável f, no intervalo
entre -3 e 4 incluídos. O gráfico de f' tem tangentes
horizontais em -1, então, aqui, você tem
uma tangente horizontal em -1, tem outra tangente em 1, então,
uma tangente horizontal, e em 3, aqui você tem
uma tangente horizontal. Em quais intervalos contidos
entre -3 e 4 não inclusos o gráfico da função tem concavidade para
baixo e também está decrescendo? Ou seja, “está decrescendo”
é o mais fácil de a gente analisar. Vamos começar
por ela. Para que uma função
esteja decrescendo, basta que sua derivada
seja negativa, ora, quando esta derivada
é negativa? Em toda essa região, ou seja,
toda essa região abaixo do eixo “x”. Agora, lembre-se de que no ponto 2, no ponto 1
e no ponto 4 ela não é negativa, ela vale zero. Se formos colocar um intervalo
de validade onde ela é negativa, seria de -2 não incluso,
até 1 não incluso, e até 4 não incluso. Então, temos aqui uma das coisas
que a questão está pedindo. A outra é que tenha concavidade
para baixo, então, vamos chamar isso de 2. Para a concavidade para baixo ,
basta que você verifique quando a derivada segunda
da função é negativa. Se ela for negativa, significa
que a concavidade é para baixo, mas ele quer os dois, que a concavidade
seja para baixo e também esteja decrescendo. Aqui, estamos vendo
que ela está decrescendo, uma vez que a derivada
é negativa. Agora, quando a derivada
segunda é negativa? Ela é negativa quando tem
uma inclinação para baixo, ou seja, toda esta região
está inclinada para baixo, toda ela, inclusive no ponto -2, está inclinada
para baixo até que chega neste ponto em que a inclinação é zero, e
essa outra região, não incluindo o 1, porque aqui é uma tangente,
ela está com a inclinação para baixo, então, essa inclinação para baixo em f' nos diz
que f'' é negativa, porque a inclinação é para baixo. Ou seja, f', sendo negativa, significa que
a concavidade é virada para baixo. Portanto seria desde -3,
-3 está por aqui, até -1, não incluindo o -1, porque em -1
ela não está inclinada para baixo, aqui é uma tangente,
aqui você tem -1. O outro intervalo é de 1 não incluso,
porque ele aqui é uma tangente, então, ela não está inclinada
para baixo, até 3... Aqui é 3, é porque eu botei um sinal de menos
só para dizer que esta parte é negativa. Até 3
não incluso também. Nós queremos satisfazer
as duas coisas, queremos que ela seja decrescente e
que ela tenha concavidade para baixo. Para ser decrescente,
pegamos a derivada e verificamos a região
em que ela é negativa. Para que tenha
concavidade para baixo, pegamos a segunda derivada e vemos
quando é negativa pela sua inclinação. Obviamente, vai ser
a interseção desses dois conjuntos, ou seja, nós vamos ter “x”
maior que -2, porque não está incluso o -2,
até -1, ou vamos colocar a união,
“x” está entre 1 e 3.