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Cálculo Avançado AB 2015 5b

Intervalos onde f é côncava para baixo e decrescente.

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Transcrição de vídeo

RKA22JL - A figura acima mostra o gráfico de f', a derivada de uma função duas vezes diferenciável f, no intervalo entre -3 e 4 incluídos. O gráfico de f' tem tangentes horizontais em -1, então, aqui, você tem uma tangente horizontal em -1, tem outra tangente em 1, então, uma tangente horizontal, e em 3, aqui você tem uma tangente horizontal. Em quais intervalos contidos entre -3 e 4 não inclusos o gráfico da função tem concavidade para baixo e também está decrescendo? Ou seja, “está decrescendo” é o mais fácil de a gente analisar. Vamos começar por ela. Para que uma função esteja decrescendo, basta que sua derivada seja negativa, ora, quando esta derivada é negativa? Em toda essa região, ou seja, toda essa região abaixo do eixo “x”. Agora, lembre-se de que no ponto 2, no ponto 1 e no ponto 4 ela não é negativa, ela vale zero. Se formos colocar um intervalo de validade onde ela é negativa, seria de -2 não incluso, até 1 não incluso, e até 4 não incluso. Então, temos aqui uma das coisas que a questão está pedindo. A outra é que tenha concavidade para baixo, então, vamos chamar isso de 2. Para a concavidade para baixo , basta que você verifique quando a derivada segunda da função é negativa. Se ela for negativa, significa que a concavidade é para baixo, mas ele quer os dois, que a concavidade seja para baixo e também esteja decrescendo. Aqui, estamos vendo que ela está decrescendo, uma vez que a derivada é negativa. Agora, quando a derivada segunda é negativa? Ela é negativa quando tem uma inclinação para baixo, ou seja, toda esta região está inclinada para baixo, toda ela, inclusive no ponto -2, está inclinada para baixo até que chega neste ponto em que a inclinação é zero, e essa outra região, não incluindo o 1, porque aqui é uma tangente, ela está com a inclinação para baixo, então, essa inclinação para baixo em f' nos diz que f'' é negativa, porque a inclinação é para baixo. Ou seja, f', sendo negativa, significa que a concavidade é virada para baixo. Portanto seria desde -3, -3 está por aqui, até -1, não incluindo o -1, porque em -1 ela não está inclinada para baixo, aqui é uma tangente, aqui você tem -1. O outro intervalo é de 1 não incluso, porque ele aqui é uma tangente, então, ela não está inclinada para baixo, até 3... Aqui é 3, é porque eu botei um sinal de menos só para dizer que esta parte é negativa. Até 3 não incluso também. Nós queremos satisfazer as duas coisas, queremos que ela seja decrescente e que ela tenha concavidade para baixo. Para ser decrescente, pegamos a derivada e verificamos a região em que ela é negativa. Para que tenha concavidade para baixo, pegamos a segunda derivada e vemos quando é negativa pela sua inclinação. Obviamente, vai ser a interseção desses dois conjuntos, ou seja, nós vamos ter “x” maior que -2, porque não está incluso o -2, até -1, ou vamos colocar a união, “x” está entre 1 e 3.