Cálculo Avançado AB 2015 6c

RKA4JL - Parte (c): obtenha a derivada segunda de y em relação a x duas vezes no ponto da curva em que x é igual a -1 e y é igual a 1. Nós já sabemos do enunciado que o dy/dx é igual a y sobre (3y² menos x). O que precisamos fazer basicamente é obter a derivada dos dois lados de novo. Temos várias formas de fazer isso. Uma delas seria derivar o lado direito e observar que precisaria da regra do quociente, mas eu vou tentar fazer isso de uma maneira um pouquinho mais simples. Eu teria de usar a derivação implícita de um jeito ou de outro. E o que aconteceria se eu multiplicasse os dois lados por 3y² menos x? Teríamos 3y² menos x vezes dy/dx igual a y. Nesta situação, ao obter a derivada dos dois lados, a coisa vai ficar um pouquinho mais direta. Vamos, então, colocar aqui a derivada dos dois lados. A derivada em relação a x desta expressão toda deste lado e a derivada do lado direito em relação a x. Ao derivar esta expressão que temos do lado esquerdo, vamos usar a regra do produto. Começando aqui, vamos derivar 3y² menos x em relação a x. Para começar, se eu tomasse a derivada de 3y² em relação a y, teríamos 6y. Isso vezes a derivada de y em relação a x, dy/dx. Trata-se aqui da diferenciação implícita ou da derivação implícita e se isso não está muito familiar para você, sugiro que aqui na Khan Academy você localize alguns dos vários vídeos sobre este tema. Isso é, de fato, uma extensão da regra da cadeia. Agora tomamos menos a derivada de x em relação a x, que é 1, fizemos a derivada da primeira e agora multiplicamos pela segunda, que é o dy/dx (lembre-se de que estamos usando a regra do produto) e agora vamos adicionar a primeira função vezes a derivada da segunda. Vamos olhar primeiro para a derivada da segunda, que é dy/dx e a derivada dela em relação a x vai ser a derivada segunda de y em relação a x duas vezes multiplicada por 3y² menos x. Retomando, então, fizemos a derivada dessa expressão vezes esta mais a derivada desta vezes a outra. Isso tudo vai ser igual a... Do lado direito temos a derivada de y em relação a x. Simplesmente, portanto, dy/dx. Lembre-se de que o nosso objetivo é obter a derivada segunda de y em relação a x duas vezes e eu poderia isolar, então, esta parte da expressão. Mas podemos fazer isso de uma maneira um pouco mais rápida substituindo x e y por números, já que nos foi dado no enunciado. Ficamos com uma equação numérica mais fácil de ser resolvida. Substituindo y por 1, este pedacinho que é 1, aqui também temos 1, x é -1, vou poder trocar aqui x por -1, não temos nenhum outro x aqui e agora, finalmente, o que é o dy/dx? Temos a expressão que define dy/dx e, portanto, nela também podemos trocar y por 1 e x por -1. Vai ficar, então, 1 sobre 3 vezes 1² menos -1 e 1 sobre 3 menos -1 resulta em simplesmente ¼. No ponto (-1,1), a derivada y em relação a x é ¼. Podemos substituir aqui por ¼, aqui também por ¼ e aqui por ¼. Agora facilmente nós podemos obter o que é a derivada segunda, porque o resto é número e a conta está bem fácil. Começando por aqui, 6 vezes 1 vezes ¼. 6 vezes 1, 6, vezes ¼ são 6/4 menos 1 inteiro. 1 inteiro são 4/4, então 6/4 menos ¼ resulta em 2/4, que é simplesmente ½. E vezes ¼ que temos aqui fora dos parênteses. Mais a derivada segunda de y em relação a x duas vezes. Multiplicando o que está dentro dos parênteses, é 1 menos -1, então 1 mais 1, que dá 2, ou seja, esse termo fica duas vezes d²y sobre dx² e isso tudo igual a ¼. Temos, então, ⅛ mais duas vezes a derivada segunda igual a ¼. Vou agora subtrair ⅛ nos dois membros. No primeiro membro isto cancela, temos duas vezes a derivada segunda de y igual... No segundo membro, aqui no lado direito, vamos lembrar que ¼ é a mesma coisa que ²/₈ e ²∕₈ menos ⅛ resulta em ⅛. Agora vamos dividir os dois lados por dois. Para facilitar a nossa conta, isso equivale a multiplicar os dois lados por ½. Então do lado esquerdo vamos ter ½ vezes duas vezes a derivada segunda de y igual a ⅛ vezes ½. No lado esquerdo da igualdade, vamos cancelar 2 com esse 2 e ficamos somente com a derivada segunda de y em relação a x, que é o que nos interessa, igual a 1/16. Finalmente concluímos que a derivada segunda de y em relação a x duas vezes, quando x é igual a -1 e y igual a 1 é igual a 1/16. Até o próximo vídeo!