Cálculo Avançado AB/BC 2015 3b

RKA8JV - Patrícia corre ao longo de uma linha reta. Para o intervalo de tempo entre zero e 40 minutos, a velocidade de Patrícia é dada por uma função diferenciável "v". Para determinados valores de v(t), onde "t" é medido em minutos e v(t) é medido em metros por minuto, são dados na tabela acima. Então, são valores discretos, onde você tem o tempo e você vai ter a velocidade naquele instante. Utilizando as unidades corretas, explique o significado da integral definida de zero a 40 do módulo de v(t) dt dentro do contexto do problema. Obtenha um valor aproximado da integral de zero a 40, do módulo de v(t) dt utilizando a soma direita de Riemann com os quatro subintervalos indicados na tabela. Então, nós temos aqui, v(t) dado em metros por minuto e "t" dado em minutos. E temos os seguintes valores indicados na tabela. Quando o tempo for 12 minutos, a velocidade dela é de 200 metros por minuto. Então, ela passa por este ponto aqui. Quando for 20 minutos, ela vai para 240 metros por minuto, portanto ela passa por este outro ponto aqui. Quando ela for 24 minutos, veja, aqui tem um sinal negativo, mas nós queremos o valor modular da velocidade. Significa que a gente está obtendo a velocidade escalar, ou seja, a gente está obtendo a distância percorrida e não o deslocamento, pois a gente está pegando apenas os valores positivos. Se você vai e volta, vai e volta, e volta para o mesmo lugar, do ponto de vista vetorial, você não percorreu nenhuma distância, ou o deslocamento é zero. Mas se você vai e volta, vai e volta, vai e volta e você quer saber qual a sua distância percorrida, você soma todas as distâncias, ou seja, tanto as distâncias de ida quanto as de volta, portanto, vamos pegar o valor absoluto, que seria de 220 quando for 24 minutos. Por aqui, ela vai ter 220 metros por minuto. E finalmente, em 40, ela vai ter a velocidade de 150 metros por minuto. Esta função, a gente não sabe exatamente como ela se comporta. Na realidade, por ser uma pessoa que está correndo, ela deve ser alguma coisa desse tipo aqui, que faz uma ondulação não tão grande. Então, pela soma de Riemann, vamos pegar os retângulos de cada subtrecho, ou seja, em 12 minutos, ela vai ter a velocidade de 200 metros por minuto. Em 20, ela vai ter 240, ou seja, este retângulo vai representar o quanto ela andou de 12 até 20. De 20 até 24, ela vai ter andado aproximadamente isso aqui, e de 24 até 40, nós vamos ter este retângulo representando a área completa que ela percorreu, ou seja, esta área vai ser a velocidade vezes o tempo, que vai dar a distância percorrida. Portanto, podemos calcular como sendo 12 vezes 200 mais, de 12 para 20 são 8, vezes 240 mais, de 20 para 24, 4, vezes 220, e finalmente de 24 até 40, nós temos 16 vezes 150. Esta soma vai dar 12 vezes 200, vai dar 2.400, mais 8 vezes 240 vai dar, 8 vezes 4, 32, dá 16.920, mais 880 mais 16 vezes 150, dá 2.400. Esta soma toda, fazendo na calculadora, 2.400 + 1.920 + 880 + 2.400. Vai dar um total de 7.600 metros. E por que 7.600 metros? Porque você está multiplicando a velocidade, que é em metro por minuto, vezes o tempo que é dado em minuto, portanto, a resposta é dada em metro.