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Cálculo Avançado AB/BC 2015 4cd

Soluções da equação diferencial.

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RKA8JV - Nesta quarta questão, já resolvemos a letra "a" e a letra "b". Vamos resolver a "c" e a "d". Seja a equação diferencial dy/dx = 2x - y. Então, a letra "c" fica: seja y = f(x) uma solução particular para a equação diferencial com a condição inicial de f(2) = 3. Ou seja, quando "x" for igual a 2, implica que "y = 3". A função "f" tem um mínimo, um máximo relativo, ou nenhum em "x = 2"? Justifique sua resposta. Neste caso, nós teríamos que derivar em "x = 2" para saber se ela é zero ou não. Ora, este aqui é nosso dy/dx, que vai ser nosso 2x - y. f'(2), nós sabemos que "x", quando é 2, "y" é 3, ou seja, f' no ponto 2 vale 1, então, ele nem é um mínimo relativo, nem um máximo relativo, é nenhum dos dois. Muito bem. Vamos para a letra "d". A letra "d" diz o seguinte: encontre os valores das constantes "m" e "b" para a qual "y = mx + b" é solução para a equação diferencial. Então, ele quer saber "y = mx + b". Nós queremos saber tanto o "m" quanto o "b". O "m" é o mais fácil, pois, ao derivarmos o "y" em relação a "x", nós encontramos o "m", que é igual a "2x - y". A derivada segunda de "y" em relação a "x" vai ser igual a zero. E a derivaria segunda de "y" em relação a "x" vai ser 2 - dy/dx, o que mostra que dy/dx vai ser igual a 2, ou seja, nosso "m = 2". Então, já sabemos o valor de "m". E desta equação, nós temos que: "2 = 2x - y", ou seja, "y = 2x - 2". Portanto, sabemos quem é o nosso "m", que vale 2, e quem é o nosso "b'', que vale -2.