2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 3a

RKA7MP - Problema 3: seja f(x) igual a e²ˣ, seja "R" a região no primeiro quadrante limitado pelo gráfico de "f" os eixos coordenados e a vertical "x" igual a "k", isto foi desenhado bem aqui, isto está na figura acima do exame AP, mas coloquei aqui embaixo. Assim, eu não desperdiço tela com isto. Como podem ver, este é o f(x). Esta é a linha "x" igual a "k", e esta região R e fica entre eles, e no primeiro quadrante bem aqui. Aqui é a região R. O que eles estão pedindo para nós fazermos? "k" é maior que zero na região R, apresentada na figura acima. Esta é a figura. Parte (a): Escreva, mas não calcule, uma expressão envolvendo a integral que dê o perímetro, o perímetro de R em termos de "k". Para o perímetro R, iremos ter que encontrar o comprimento dos lados de R. E o mais difícil disto é achar o comprimento da curva entre este ponto e este ponto aqui. Eu gosto de sempre rederivar a fórmula do comprimento do arco. Embora, se você fosse fazer o exame AP, não seria ruim ter memorizado isto. Assim, você ganha tempo. Mas você deveria saber se virar quando você tem 35 anos e não tem um livro de referência. Dá para se virar, assim você sabe de onde a fórmula vem. Vamos rederivar. Vamos dizer que fôssemos aumentar, que fôssemos aumentar um pedacinho da curva aqui. Vamos aumentar esta parte da curva. O que podemos fazer é a mesma coisa, da mesma maneira podemos derivar o comprimento do arco quando a função é definida parametricamente, o que já fizemos. Eu acho que foi parte deste exame AP. Desta vez não é definida. Então, podemos fazê-las em termos de "x" e "y". Sem você ver isto, esta distância aqui vai ser uma mudança bem pequena em "x". Vamos chamar de dx. E aqui vai ser uma mudança pequena em "y", dy. E sabemos que dy é a derivada de "y" em relação a "x". dy sobre dx é igual a f'(x). Ou podemos dizer que se multiplicarmos os lados por dx, que dx é igual a f'(x) dx. Assim, isto é igual é f'(x) dx. Esta pequena mudança em "x" e esta pequena mudança em "y", podemos aproximar deste comprimento da curva com o Teorema de Pitágoras. E se diminuirmos bem, isto vai meio que medir o comprimento da curva diretamente. Vamos usar o Teorema de Pitágoras aqui. Este comprimento será a √dx² mais dy². E se escrevermos dy desta forma, este pequeno comprimento de arco vai ser igual a √dx², mais, isto é dy, a soma de f'(x)² vezes dx². Tudo o que eu fiz foi elevar isto ao quadrado, dy elevado a isto aqui. Vou expandir o sinal de radical um pouco mais, exatamente da mesma maneira que havíamos feito quando calculamos a função paramétrica. Podemos fatorar a √dx. Isto vai ser igual à raiz quadrada de, se fatorar a raiz de dx somada a (f'(x))², e fatoramos dx² fora do sinal de radical. Teremos o dx. Este pode ser o comprimento deste pequeno arco, que poderia ser menor. Será uma parte infinitesimal do arco. Podemos chamá-lo de arco "d", bem aqui. E com esta verdade, queremos somar estes pequenos segmentos. Queremos somá-los a partir de "x" igual a zero, até "x" igual a "k", porque estamos integrando, em relação a "x", este arco bem aqui. Vou escrever o que eles querem que calculemos. Estamos tentando calcular o perímetro de R. O perímetro de R é igual a, primeiramente, esta parte. Esta é integral de zero a "k". "x" é igual a zero, até "x" igual a "k" da √1 mais f'(dx). "x" é igual a zero até "x" é igual a "k" na √1 mais f'(x). f'(x) é igual à derivada disto em relação a "x", que é 2e²ˣ. A derivada de 2x é 2, a derivada de e²ˣ, em relação a 2x, é e²ˣ. Queremos elevar isto porque é f'(x), mas queremos a √f'(x), que fica 4⁴ˣ. Aqui temos um dx. Este é o cumprimento do arco. Esta é a parte difícil. Agora, temos que lidar com o resto do perímetro. Você tem este segmento, que é o comprimento 1, e estamos indo de 1 para zero, ou de zero para 1, mais 1. Então, você tem esta parte ao longo do eixo "x", que vai ser o comprimento de "k", mais "k". Enfim, você tem a altura bem aqui, e isto vai ser o comprimento de f(k), ou e²ᵏ. E pronto! Achamos o perímetro de R. Como não temos que calcular isto, terminamos por aqui.