2011 Cálculo BC - Questão discursiva nº 6b

RKA7MP - Vamos lá, vamos fazer o item "b". Escreva os quatro primeiros termos diferentes de zero para a série de Taylor para o cosseno de "x", com "x" igual a zero. Use estas séries e as séries para seno de x² encontradas na parte "a" para escrever os primeiros quatro termos da série de Taylor de "f" para "x" igual a zero. Tem duas partes aqui, este item. Vamos resolver a primeira parte. Vamos dizer que nós colocamos um tipo de fórmula da série de Taylor bem aqui, com "x" igual a zero. Então, estaríamos com "x" igual a zero. Se dissermos que h(x) é igual ao cos de "x", o h(0) será igual ao cos de zero, que é igual a 1. Se você tem h'(x), isto vai ser igual a -sen de "x". E você poderia olhar aqui se, essencialmente, h(x) vai ser h'(x). É só um passo à frente do que a gente estava com g(x), nós vamos refazer para ficar claro. A primeira derivada em zero é -sen de "x", que é zero. Então, você tem a segunda derivada, a segunda derivada de h(x). A derivada de sen de "x" é cos de "x". Mas, como nós temos o negativo na frente, fica -cos de "x". Então, h"(0) vai ser igual a, cos de zero é 1, então, você tem negativo na frente, fica -1. Você tem a terceira derivada de "h", que é igual à derivada de -cos de "x", que é sen de "x". A terceira derivada de zero vai ser igual a zero. Você tira a derivada disto e você terá o cos de "x" de novo, e o ciclo começa outra vez. Então, poderia escrever que isto é igual à quarta derivada em zero. Deixe-me clarear um pouco o que eu estou falando. Se eu tirar a derivada disto, eu terei cos de "x". A quarta derivada de "h" é cos de "x" novamente. A quarta derivada em zero será a mesma coisa que a função avaliou em zero, que é 1. Então, a quinta derivada em zero será zero. E a sexta derivada em zero será -1, e a sétima derivada em zero será zero. Isso é o suficiente. Eu acho que nós, definitivamente, temos quarto termos diferentes de zero. Nós temos este termo, porque temos o coeficiente igual a 1, isso será zero porque temos o coeficiente igual a zero. E este é um termo diferente de zero porque temos o 1 novamente. Então, este é o termo diferente de zero porque temos o -1. Nós podemos dizer que cos de "x" é, aproximadamente, igual a, porque estamos só aproximando os quatro termos diferentes de zero. Então, "f" de zero é 1. Isso é este termo aqui. Ao invés de f(x), estamos chamando de h(x), e, desta forma, não nos confundimos com "f" original definido no problema. O cos de "x" é igual a 1. f'(0) ou h'(0) é zero. Então, não há nenhum termo lá. f"(0), segundo a derivada, é -1. Então, é -x² sobre 2 fatorial. Você obtém zero para outro termo de terceiro grau, ou você obtém 1 para o termo de quarto grau. Então, +1. Não é necessário escrever 1 porque está implícito. +1 vezes x⁴ sobre 4 fatorial. O próximo termo diferente de zero é este -1. -1, podemos escrever menos, e esta é a forma de sexto grau, x⁶ sobre 6 fatorial. E estes são os quatro primeiros termos diferentes de zero do cos de "x". Agora, vamos fazer a segunda parte do problema. Vamos lembrar da segunda parte do item "b". Use estas séries e as séries para sen de x² encontradas na parte "a", para escrever os primeiros quatro termos da série de Taylor de "f" para "x" igual a zero. Vamos lembrar da função, a função é esta, f(x) igual a sen de x² mais cos de "x". Vamos lá! f(x) é igual a sen de x² mais cos de "x". Vamos escrever os primeiro quatro termos diferentes de zero. E nós queremos começar pelo grau mais baixo. Você poderia dizer que f(x) vai ser, aproximadamente, igual... bom, do cos de "x" você tem isto, que é o cos de "x" e o sen de "x" está bem ali. Entre estas duas coisas, o que tem grau menor é este termo aqui, o 1. E, depois disto, o termo mais baixo, nós não temos nenhum termo de primeiro grau, não temos nenhum termo com "x". Mas, em ambos os termos, a gente tem x². Na verdade, vou simplificar isto, deixe-me escrever de outra forma. O sen(x²) é esta coisa aqui, foi isto que a gente descobriu na parte 1. É a mesma coisa que x² menos x⁶ sobre 3 fatorial, mais x¹⁰ sobre 5 fatorial, menos x¹⁴ sobre 7 fatorial. São os primeiros quatro termos. Então, não é exatamente isto, mas é aproximadamente igual a isto, uma aproximação. Cos de "x", como a gente descobriu, é 1 menos x² sobre 2 fatorial, mais x⁴ sobre 4 fatorial, menos x⁶ sobre 6 fatorial. Agora, nós podemos pegar os primeiros quatro termos diferentes de zero e, sendo uma série de Taylor, o primeiro termo deve ser o de menor grau. Vamos falar aqui novamente. f(x) vai ser, aproximadamente, igual a, o termo mais baixo aqui vai ser o 1, vamos escrevê-lo aqui, e não temos termos de primeiro grau aqui, só temos termos com x², então, eles serão os próximos e nós podemos somá-los. Aqui você tem x², vamos escrever aqui +x², menos x² sobre 2 fatorial, que vai ser a mesma coisa que x² sobre 2. Eu posso escrever ½ vezes x². Isto vai acabar virando um termo só, que vai ser ½x². Será que temos algum termo de terceiro grau? Parece que não. E algum termo de quarto grau? Temos um termo de quarto grau bem aqui. Vamos adicionar aqui, +x⁴ sobre 4 fatorial. E, finalmente, temos algum termo de quinto grau, parece que não também, mas nós temos termos de sexto grau. Temos este termo bem aqui e este termo bem aqui. Vai ser -x⁶ sobre 3 fatorial, mais x⁶ sobre 6 fatorial. Agora, você pode simplificar esta coisa aqui que vai ser igual à, então, f(x) é, aproximadamente, igual a 1, mais x² menos ½x² é a mesma coisa que ½x², que vai ser x² sobre 2. Em azul, temos x⁴ sobre 4 fatorial. Então, para simplificar isto, nós podemos reescrever o 6 fatorial. O 6 fatorial vai ser a mesma coisa que 3 fatorial vezes 4, vezes 5, vezes 6. Ou 3 fatorial vezes 120. Vou somar estas 2 frações e o denominador comum que eu vou utilizar é 6 fatorial. A primeira fração, se eu a utilizar como 6 fatorial, ela pode ser reescrita como 120 vezes x⁶ sobre 6 fatorial, mais a segunda fração, que é x⁶, mais x⁶ sobre 6 fatorial, isto vai ficar 121x⁶ sobre 6 fatorial. E nós temos este sinal negativo. Fica -121x⁶ sobre 6 fatorial. E, finalmente, terminamos. Nós descobrimos quais são os quatro primeiros termos diferentes de zero de f(x).