Cálculo Avançado BC 2015 5c

RKA14C Encontre um valor de k no qual f tenha um ponto crítico em x = -5. Antes de começar, vamos retomar as equações de f(x) e f'(x) que o exercício nos traz. Então, f(x) = 1 / x² - kx. E f'(x) = k - 2x / (x² - kx)². O exercício nos dá que f tem que ter um ponto crítico em x = -5. Então, x = -5 está no domínio das funções. Para que f tenha um ponto crítico em x = -5, f'(-5) tem que ser igual a zero ou indefinida. Isso porque o ponto crítico é um membro do domínio das funções em que a derivada é igual a zero ou indefinida. Então, vamos identificar o valor de k. f'(-5) = k - 2 vezes (-5), sobre ((-5²) - k vezes (-5)), tudo isso elevado ao quadrado. f'(5) = k + 10, sobre 25 + 5k. Para qual valor de k, f'(-5) seria zero ou indefinida? Bom, nós temos que f'(-5) = 0 existe se k = -10. Isso porque, se substituirmos aqui -10 por k, vai dar zero. 0² = 0. Então, nesse caso, seria igual a zero. f'(-5) é indefinida se k = -5. No entanto, isso não é possível. Isso porque, se substituirmos o valor de k por -5, não dará o resultado de zero ou indefinida. Porque, se substituirmos k nessa função, nós veremos que f(x) é igual a 1 sobre x² + 5x. Nesse sentido, não há a possibilidade de a função ser indefinida. k = -5 não pode ser um ponto crítico porque ele não faz parte do domínio das funções em que a derivada é igual a zero ou indefinida. Neste caso, k = -10.