Cálculo Avançado BC 2015 5d

RKA2JV - Alternativa D: considere k = 6, de modo que a função f(x) é igual a 1 sobre (x² - 6x). Encontre a decomposição fracionada parcial para a função "f". Depois, encontre a integral da função f(x)dx. Em primeiro lugar, vamos entender esta função f(x) de uma forma diferente. Temos aqui que 1 sobre (x² - 6x) é a mesma coisa que 1 sobre: "x" colocado em evidência, multiplicando (x - 6). A partir disso, começamos a escrever a nossa forma genérica da decomposição fracionada parcial. Se você não se lembra disso, procure a aula na Khan Academy sobre decomposição fracionada parcial. Bem, temos aqui, então: A (um termo genérico) sobre "x", mais B (um outro termo genérico) sobre (x - 6). Veja que essa é uma forma de você abrir esta função em duas. Para tornarmos o denominador de ambas igual a esta função, temos que multiplicar A sobre "x", tanto no numerador quanto no denominador, por (x - 6). E fazemos um processo análogo. Temos que multiplicar ambas por "x", tanto o numerador quanto o denominador. Finalmente, fazendo isso, teremos esta equação aqui: A, que multiplica (x - 6) + Bx, dividido pela multiplicação de ambos os denominadores, que é "x" vezes (x - 6), igual aqui. Fazendo a distributiva deste A, ficaremos com: A vezes "x", que é Ax, A vezes -6, que é -6A, mais Bx, dividido por "x" vezes (x - 6). Agora, lembre que esta fração toda é igual a: 1 dividido por "x" vezes (x - 6). Agora vamos igualar esses dois numeradores. Podemos iniciar esse processo notando que "x" multiplica tanto A quanto B. Dessa forma, esses dois termos terão que se anular, tendo Ax + Bx = 0. Ou seja, A + B = 0. A partir disso, podemos concluir que -6A, que é o termo que sobrou, será igual a 1. Logo, A = -1/6. Aplicando este valor de A na equação acima, nós teremos que: -1/6 + B = 0; logo, B = 1/6. Agora que encontramos tanto o valor de A quanto o de B, vamos jogá-los nesta decomposição fracionada parcial. Logo, teremos que a função de "x" na decomposição fracionada parcial é igual a -1/6 sobre "x", mais 1/6 sobre (x - 6). Agora, por fim, a alternativa nos pede que encontremos a integral da função f(x)dx. Vamos iniciar colocando a integral da função f(x)dx, que é igual a: a integral da nossa decomposição fracionada parcial dx. Aplicando as regras que aprendemos sobre integrais, vamos descobrir que o termo do numerador será multiplicado pelo logaritmo natural do módulo do denominador. Desta forma, teremos que a integral da função f(x)dx é igual a: -1/6 logaritmo natural do módulo de "x", mais 1/6 vezes o logaritmo natural do módulo de (x - 6), mais "c", que é uma constante que surge em todo tipo de integração. Bem, é isso!