Provas BC de cálculo AP: 2008 1 a

RKA3JV - Recebi uma sugestão para que eu resolva problemas do exame americano AP. Eu olhei na internet, e eis que eu encontrei no site "collegeboard.com" algumas questões de múltipla escolha. Mas, peguei algumas questões dissertativas. E esta questão, no caso, é a primeira questão dissertativa que eles têm no cálculo "BC" que foi ministrada no ano de 2008. Então, vamos fazer este problema. E, francamente, se você entender como todas as questões dissertativas são feitas, você provavelmente vai se sair muito bem nas questões de múltipla escolha. Porque as questões dissertativas tendem a ser um pouco mais desafiadoras, especialmente nos últimos passos da conta. Bem, de qualquer maneira, vamos resolver esta aqui. Eu vou apenas lê-la, porque eu não quero escrever toda a questão aqui. Mas esta é a imagem que encontramos no problema. Eu, na verdade, copiei e colei isso do PDF que eles fornecem no "collegeboard.com". Bom, e a questão diz o seguinte: seja "r", e isso é "r", a região delimitada pelo gráfico de y = sen πx. Então, este gráfico de cima é y = sen πx. E o gráfico inferior é y = x³ - 4x. E como é que eu sei que essa expressão se trata do gráfico de baixo? Bem, eu sei que isto aqui era sen πx, correto? Porque seno se parece com isso, não se parece com aquele, certo? É só testar sen π é zero. Seno de zero é zero, seno de 2π que é zero. Então, o de cima é o sen πx . De qualquer maneira, esta é a região entre as duas funções. E isto é o tipo de questão fácil, só para ter certeza que você sabe como fazer integrais definidas. O problema solicita que nós encontremos a área de "r". Como vamos fazer isso? Eu acho que você sabe que nós vamos fazer isso por meio de uma pequena integral definida. Então, vamos apenas dizer que a área é igual à integral definida de, quais são os valores de "x"? O gráfico vai do momento em que "x = 0", até o momento em que "x = 2". Em qualquer valor pontual "x", onde é que vai ser o ponto máximo? Quando nós estamos calculando a área, estamos pegando vários retângulos que são a largura de "x", certo? E este é um dos meus retângulos. Vamos dizer que este é um dos retângulos que nós vamos fazer a soma. Sua largura é "dx", qual é a sua altura? Sua altura vai ser essa função superior menos essa função inferior. Então, essencialmente, nós estamos tomando a soma de todos estes retângulos para que sua altura seja a função superior menos a função inferior. Então, sen πx, aqui eu vou colocar um parêntese, menos a função inferior. Então, é menos -x³ + 4x. Já que eu estou subtraindo, troquei ambos os sinais da segunda função. E tudo isso vezes a largura de cada um desses retângulos, que é infinitamente pequena. Nós vamos somá-los desde "x = 0", até quando "x = 2". Isto deve ser bastante simples para você. Então, como nós podemos calcular isso? Bem, essencialmente, nós pegamos a antiderivada disto. Então, a calculamos no ponto 2, e, em seguida, calculamos no ponto zero. Qual é a antiderivada do sen πx? Bem, qual função derivada resulta em sen x? Cos x. Vamos ver! Se eu fosse pegar a derivada do cos πx, Isso deve ser razoavelmente familiar para você. O cos πx, se eu fosse calcular a derivada dela, eu teria como resultado que tudo aquilo é igual a π. Você primeiro calcula a derivada da função de dentro, certo? Pela regra da cadeia. Então, é "π" vezes a derivada da coisa toda. A derivada do cos x é menos sen x. Então, a derivada disso será π vezes -sen πx. Você poderia dizer que é igual a -π sen πx. Então, a derivada do cos πx é quase tudo isso. Ela apenas tem 1 - π, certo? Então, vamos ver se nós podemos reescrever isso para que fique igual à derivada do cos πx. Então, vamos escrever -1/π vezes 1 - π. Quando você for resolver isso, verá que é igual a 1. Então, eu posso fazer isso vezes π sen x. Em seguida, x³ + 4x. Em seguida, tudo isso vezes a largura, "dx". Bem, agora, nós a temos, sabemos que antiderivada disto é cos πx. E esta é apenas uma constante. Então, qual é a antiderivada de tudo isso? Eu vou mudar arbitrariamente as cores novamente. A antiderivada é o cos πx. Então, nós temos -1 sobre "π cos πx". Lembre-se, eu posso apenas trazer este termo para baixo, é apenas uma constante. E a antiderivada disto aqui, está bem aqui embaixo. Em seguida, estes são um pouco mais simples. Aqui, será menos a antiderivada de x³, que é x⁴ / 4, mais a antiderivada disto. E isso dá 4x² / 2. Ou você poderia apenas ver como 2x². E, em seguida, resolver para "x = 2" e para "x = 0". Vamos fazer isto. Isto é igual ao cos 2π. E nós vamos ter um sinal de menos aqui. Portanto, -cos 2π / π menos 2³ é 8. 2⁴ é 16. 16 / 4 é 4. Então, é -4. E 2² é 4, vezes 2 dá 8. Portanto, +8. Então, essa é a antiderivada definida em "x = 2". Agora, vamos subtrair pela antiderivada definida em zero. Então, isso será -cos de zero sobre π menos zero, mais zero. Então, estes termos não contribuem qualquer coisa quando se calcula para "x = 0". Qual é o valor de "x" do círculo trigonométrico, no 2π ou no zero? É igual a 1. Portanto, isso é igual a -1 / π - 4 + 8. Estes dois "menos", tornam-se sinais de adição. Cosseno de zero também é 1, então +1 / π. E este -1 / π e este +1 / π. Então, vamos cancelar estes dois. O que nos resta será este -4 e +8 que é igual a 4. Então, essa é a parte 1, a parte "a" questão número 1, das questões dissertativas do BC de 2008. Eu acabei fazendo um vídeo inteiro, apenas para fazer essa parte. No próximo vídeo, eu vou fazer a parte "b" e vamos apenas continuar fazendo isso. Eu espero que você tente pelo menos fazer dois destes todos os dias. Vejo vocês na próxima!