Provas BC de Cálculo AP: 2008 1 b e c

RKA2G - Vamos continuar fazendo o primeiro problema do curso preparatório de cálculo americano de 2008. Estamos na parte B. O problema diz que a linha horizontal y = -2 divide a região R (isto é R) em duas partes. Escreva mas não calcule a expressão integral para a área da parte que está abaixo das linhas horizontais. Vamos esboçar y = -2. y = -2 se pareceria com algo assim. "y" é simplesmente uma constante. O que a questão está pedindo é que dividamos esta região R em duas partes: esta parte e esta parte. O que se deseja saber é a expressão integral para a área da parte de R que se encontra abaixo da linha horizontal. Estamos nos importando com a área desta parte de R. E lembre-se: eles querem apenas que escrevamos a expressão. Não precisamos calcular nada. Portanto, isso deve nos poupar tempo. Então, como iremos calcular isto? A parte fácil é justamente definir a expressão da qual obteremos a integral definida. O que será um pouco mais difícil é definir os pontos de contorno. Portanto, qual será a expressão da integral definida que usaremos? Da mesma forma que fizemos na parte A, tentaremos tomar a soma de um monte de retângulos. E a altura dos retângulos será igual à diferença entre as duas funções. Isto é y = -2. Então, esta função bem aqui é y = x³ - 4x. Esta é a altura de cada um desses retângulos. A largura de cada um desses retângulos, nós sabemos que é dx. Então, multiplicaremos aquilo por dx. E tomaremos a soma de todos os "x" igual a qualquer ponto até qualquer ponto. Precisamos descobrir este ponto, este valor de "f" que será aqui e, então, este valor de "x" que será bem aqui. Estes serão dois pontos onde as duas funções se interceptam. Como descobriremos estes dois pontos? O que podemos fazer é igualar ambas as funções. Então, descobriríamos que o ponto x³ - 4x é igual a -2. Em quais valores de "x" valores de "y" são iguais? Apenas igualamos as funções. Se quiséssemos escrever isto como uma expressão polinomial, obteríamos x³ - 4x + 2 = 0. Na verdade, eu tentei gravar um vídeo onde estava fazendo isso. Comecei a olhar para a expressão e pensei: cara, este é um polinômio difícil de se fatorar. Continuei tentando descobrir os números, até mesmo tentei o método de Newton continuei obtendo números estranhos. Comecei a suspeitar de mim mesmo Então, olhei para a prova e percebi que uma calculadora gráfica é necessária para alguns problemas, ou partes de problemas. Me dei conta que provavelmente os organizadores do curso preparatório querem que usemos uma calculadora gráfica para conseguirmos descobrir as raízes deste polinômio. Então, vamos fazer isso. Faz muito tempo que eu fiz o curso preparatório. Me recordo agora que a calculadora é algo bastante importante. Na verdade, eu acabei de baixar esta calculadora angular. Vamos utilizar isto para descobrirmos as raízes deste polinômio. Vamos ligá-la. Se queremos descobrir as raízes utilizaremos a função Poli. Então, Poli 2. Qual a ordem deste polinômio? É um polinômio de terceira ordem? f(x) elevado à terceira ordem. Portanto, ordem 3. E quais são os coeficientes? O coeficiente x³ é um termo 1. Vamos para baixo. Qual o coeficiente dos termos quadráticos? Não há termos ao quadrado, portanto, o coeficiente é zero. Vamos para baixo. Qual o coeficiente no termo "x"? É -4. Portanto, menos 4. Vamos novamente para baixo. Qual é o coeficiente do termo constante? Ele será o 2. Agora clicamos em Solve para resolver este cálculo e obtemos três números estranhos. Isso nos mostra que teria sido bastante difícil de resolver da forma analítica, se você possui um cérebro normal. Então, vejamos. Há três lugares onde y = -2 intercepta y = x³ - 4x. Ele o intercepta em pelo menos 2,21. Bem, isso está fora dos limites do gráfico. Não está nem aqui. Esta curva provavelmente volta para baixo e o intercepta em -2. Porém, há uma intersecção 1,675, que é provavelmente aqui. Isto se parece com 1,675. Também há uma intersecção 0,539, que se encontra bem aqui. Podemos usar estes valores dados pela calculadora gráfica e colocarmos dentro da integral definida. Portanto, neste ponto bem aqui, a solução polinomial diz que x = 0,539. Portanto, colocaremos 0,539 aqui. Este ponto bem aqui. Portanto, os limites de integração para a integral definida são estes. Iremos somar estes pequenos retângulos de x = 0,539 até x = 1,675. Eles nos disseram que não querem que calculemos, portanto, terminamos a parte B. Poderíamos simplesmente escrever isso e esperar que tenhamos acertado tudo. Talvez eles desejassem que você simplificasse isto um pouco. Mas eu ficaria surpreso se você perdesse nota por conta disso. De qualquer forma, vamos para a parte C. Na parte C, é dito que a região R é a base de um sólido. Para esse sólido, cada seção perpendicular ao eixo "x" é um quadrado. Ache o volume do sólido. Ok, isso é interessante. Então, aquela curva eu desenhei meio que como em perspectiva, para que você consiga ver o sólido que eu estou falando. É a mesma região R e tínhamos uma função senoidal em cima. Se parece com algo assim. E também tínhamos a função polinomial embaixo, que se parece com algo assim. Eu vou desenhar o eixo "x" e o eixo "y" Do jeito que eu desenhei, parece com algo desta forma. Tentei fazer o desenho um pouco em perspectiva, para que consigamos visualizar o que estou descrevendo. Este é o eixo "x" e este é o eixo "y". O que eles estão dizendo é que esta é a região R, novamente, assim como nas outras duas partes do problema. Está escrito que R é a base do sólido. Esta é a base do sólido. Para este sólido, cada seção transversal é perpendicular ao eixo "x". Então, é como se pegássemos uma faca que cortássemos assim. Cortamos em paralelo ao eixo "y", então, pegamos a seção transversal deste sólido. Isso significa que a base e a altura são do mesmo tamanho, possui a mesma dimensão de disco, que é a altura. Portanto, se tomamos a seção transversal do sólido, pareceria como algo assim. Aqui seria um quadrado menor, como este. Se tomarmos a seção transversal, seria também um quadrado pequeno. O que querem que a gente faça é calcular o sólido. Você pode tentar imaginar com o que isto se parece. São pequenos quadrados que se tornam grandes e, depois, novamente pequenos. E como faremos isso? Faremos a mesma coisa: pegamos a área de cada um destes quadrados (sabemos que são quadrados), vezes um dos dois dx, um pequeno diferencial. Então, somamos entre zero e 2. No primeiro diagrama, acho que era 2. Estou quase ficando sem tempo. Eu continuarei este problema no próximo vídeo. Vejo vocês depois!