Provas BC de cálculo AP: 2008 1 d

RKA3JV - Bem-vindo! Estamos fazendo a última parte do problema 1 do exame de cálculo BC 2008. Eu vou repetir o problema. Diz aqui que a região "R" representa a superfície de uma pequena lagoa. Em todos os pontos de "R" há uma distância "x" do eixo "y". E a profundidade da água é dada por h(x) = 3 - x. Então, encontre o volume da lagoa. Bom, vamos pensar sobre isso. Isto aqui é um desenho em perspectiva, então, esta aqui é a superfície da lagoa. E eu tentei desenhar a profundidade. Então, quando "x" é igual a zero, a lagoa tem exatamente 3. Bom, como não diz aqui, então, podemos imaginar qualquer unidade de profundidade. Ok? Metros, pés. E, em seguida, quando "x = 2", a lagoa vai ter profundidade de 1 unidade. Então, para achar o volume da lagoa, vamos pensar da mesma maneira. Como uma seção transversal em qualquer ponto da lagoa se parece? Vamos pensar sobre isto? Bom, aqui eu representei uma seção transversal. E nós sabemos que a função aqui de cima é sen(πx). E a função aqui embaixo x³ - 4x. E vamos dizer que a largura desta seção transversal vai ser a diferença entre esta função e esta função. Então, vamos representar isso aqui que eu acabei de falar. Temos a seção transversal aqui e nós sabemos que a largura vai ser a diferença desta função aqui de cima com a função aqui de baixo. E como seria sua altura? Bom, a informação da altura foi dada no enunciado. Como eu disse, qualquer ponto da lagoa, a altura de qualquer ponto da lagoa, é dada por essa função aqui "3 - x". Então, vamos inserir esta informação bem aqui. A altura, profundidade, é dada por "3 - x". Então, para termos a área desta seção transversal, basta multiplicarmos a altura pelo lado da lagoa, pela largura. Então, ficaria assim: sen(πx) - (x³ - 4) vezes (3 - x). Bom, para o cálculo de volume, se nós quisermos calcular o volume da lagoa, então, nós só precisamos calcular o volume de cada uma destas, vamos dizer, destas lascas aqui da lagoa. Então, nós calculamos a área de cada seção transversal e a multiplicamos por uma largura muito pequena, para obter uma lasca muito pequena. Então, nós pegamos isto e multiplicamos por "dx". Então, integramos. E aí, nós vamos somar todas estas lascas da lagoa de "x = 0" até "x = 2". Então, vamos fazer isto aqui. Vamos escrever o que eu acabei de falar. Nós vamos integrar isto aqui de "x = 0" até "x = 2". Bom, mais uma vez, esta aqui é uma integral muito difícil. É algo que você pode fazer, especialmente, se você usar a integração por partes, mas é um pouco confuso e você só tem 45 minutos para fazer todos os três problemas do exame. Então, eu estou supondo que eles querem que você use a calculadora. Por isso, vamos utilizar a calculadora para resolver isto. Esta era parte "c" que nós já tínhamos em nossa calculadora. Poderemos, então, dar um segundo "enter" para obter uma entrada interior. Então, vamos dar um segundo "enter". Já tínhamos digitado muitas coisas. A única diferença entre o que fizemos na parte "c" e agora é que, agora, em vez de ter isto na parte "c", nós tínhamos esta expressão ao quadrado. Mas, agora, não temos isto ao quadrado, mas multiplicamos por "3 - x". Então, vamos fazer isto. Se nós viermos aqui, nós podemos eliminar este quadrado. Não estamos mais elevando ao quadrado. Então, vamos deletar. E agora vamos fazer isto. Eu quero que você veja as teclas que eu uso. Então, vamos inserir o "3 - x" e fechar os parênteses. Assim, vamos ver, temos sen(πx) - x³ + 4x Certo? Isto mesmo é o mesmo que isto. Vezes "3 - x". A nossa variável da integração é "x", estamos integrando de "x = 0" até "x =2". Vamos apertar o "enter" agora. Note que ela está calculando. E a nossa resposta é 8,37. Então, o volume da lagoa é igual a 8,37. Eu espero que você tenha achado isso útil. Todos os dias eu vou tentar fazer algum destes problemas, ok? Então, vejo vocês no próximo vídeo!