Cálculo BC 2008 2 a

RKA4JL - Vamos continuar respondendo às questões referentes ao cálculo 2008 BC livre. Agora estamos no problema dois. Eu copiei e colei a tabela dada neste problema. Agora vamos ler o resto do problema e ver o que nós podemos fazer. O enunciado diz que a venda dos bilhetes para o concerto iniciaram ao meio dia, t igual a zero, e terminou dentro de nove horas. O número de pessoas esperando na fila para a compra em um determinado momento é modelado por uma função diferencial dupla para t maior ou igual a zero ou menor ou igual a nove. Este é o número de pessoas esperando na fila em um determinado momento e este aqui é o meio dia, uma hora, três horas, até nove horas. Os bilhetes foram esgotados às nove horas. Suponho que essa seja regida por uma equação diferencial dupla. Isso quer dizer que a função que modela isto, f(t), é contínua, já que é diferenciável. E já que é duplamente diferenciável, também sabemos que sua derivada é contínua pois a segunda derivada existe em todos os pontos. Então a parte (A) diz: use os dados na tabela para estimar a taxa na qual o número de pessoas que esperavam na fila às cinco e meia, ou seja, t igual a 5,5. Mostre os cálculos que o levaram à sua resposta. Indique as unidades de medida. Mas observe que eles não dão nenhum dado a 5,5. Temos dados sobre quatro horas e sete horas. Afinal de contas o que nós queremos saber? O que estamos procurando é uma estimativa sobre a taxa com que o número de pessoas na fila variou. Não nos é dada uma função contínua definida. O que nos é dado é um punhado de pontos desta função f(t). A melhor estimativa que eu posso fazer a respeito da taxa de variação com que f(t) está variando no ponto 5,5 é descobrir a taxa de variação média entre o tempo quatro e o tempo sete. Como descobrimos isso? A variação média é o declive. Vamos escrever isto. A variação de f sobre a variação do tempo em 5,5. Podemos escrever da forma que preferirmos, porém tenham em mente o que os examinadores preferiam ver. Podemos dizer aproximadamente igual ou qualquer coisa assim, mas isto será o declive entre esses dois pontos, que ficaria assim: (f(7) menos f(4)) sobre 7 menos 4. A variação do valor na função dividida pela variação da variável independente, que é o tempo. f(7) é 150 e f(4) é 126. 7 menos 4 é igual a 3. Então subtraindo esses dois números nós temos 24 dividido por 3, que é igual a 8. Poderíamos, então, dizer que a taxa média de variação é de 8, mas e a unidade de medida? A unidade de medida são pessoas por horas, então podemos colocar oito pessoas por hora. Então nossa melhor estimativa a respeito da taxa de variação do número de pessoas esperando na fila às cinco e meia, que está entre esses dois pontos, são oito pessoas por hora. Vamos, agora, à parte (B). Eu copiei aqui a parte (B) e ela diz o seguinte: use uma soma trapezoidal com três subintervalos para estimar o número médio de pessoas esperando na fila durante as primeiras quatro horas que os ingressos estavam à venda. Se você quiser fazer isso rapidamente não precisará do gráfico, mas vou desenhá-lo para que você entenda melhor o problema. Assim que entender, não precisará mais desenhar. Veja o gráfico aqui. Nós temos na variável y, que também chamamos de variável dependente, o número de pessoas na fila. Então nós temos 50, 100 pessoas, 150 pessoas, 200 pessoas e 250 pessoas. Nossa variável independente, que é o tempo, temos o tempo igual a zero, tempo igual a um, tempo igual a dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito e nove. É sempre bom você caprichar no desenho para evitar possíveis confusões. Então nós temos que nosso primeiro ponto, com t igual a zero, é 120. É mais ou menos por aqui. Em t igual a 1 nós temos que é 156, então 1 é 156. Vou colocar mais ou menos aqui. O tempo igual a 3 é 176. Então vou colocar o 3 próximo ao 200, mais ou menos. t igual a 4 é 126. Mas veja: o problema pediu a soma com três subintervalos para estimar o número médio de pessoas esperando na fila nas primeiras quatro horas. Então nós temos aqui o primeiro subintervalo, o segundo e o terceiro, contemplando as quatro horas. Vamos, então, desenhar uma reta entre esses quatro pontos. Apesar de precisarmos apenas desses três subintervalos, eu vou plotar no nosso gráfico os outros pontos para que você compreenda melhor a distribuição de pontos no gráfico. Tudo bem? Então vamos lá. Então em t igual a 7 nós temos o valor de 150, que está por aqui. Em t igual a 8 nós temos um valor igual a 80, que é mais ou menos aqui. Em t igual a 9 é igual a zero, que é quando os ingressos param de ser vendidos. Vamos traçar também a reta. Então quando t é igual a 9, não há mais fila. Todos compraram seus bilhetes ou talvez acabaram-se os bilhetes. Então nós plotamos todos os pontos e os conectamos com linhas. Sabemos que f(t), independentemente do que usamos para aproximá-la, não terá estes cantos porque ela é diferenciável. É na verdade duplamente diferenciável. Ela será uma curva suave, certo? É possível derivarmos em qualquer ponto. Se isso fosse uma função você não seria capaz derivar neste ponto porque há uma subida aqui e depois imediatamente muda para uma descida, como funções de valor absoluto. Você não conseguiria calcular a derivada da função naquele ponto. De qualquer forma, voltemos ao problema. Use a soma trapezoidal com três subintervalos para estimar o número médio de pessoas esperando na fila durante as primeiras quatro horas em que os ingressos estavam à venda, que é mais ou menos isso aqui. Deixe-me colocar em destaque, que é mais ou menos esse trecho aqui. Talvez isso pareça difícil. Agora que eu me dei conta que, por alguma razão, o Youtube costumava permitir fazer vídeos mais longos. Eu pensei que era pelo fato de sermos parceiros. Mas por algum motivo ele tem me limitado novamente. Então eu continuarei a parte (B) no próximo vídeo. Até mais!