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Taxas de variação aplicadas: custos marginais

Neste vídeo, resolvemos um problema que envolve a modelagem de custo com uma função, o que significa que a derivada da função modela o custo marginal. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - O custo em dólares da produção de x galões de tinta é dado por C(x) = 3.200 mais 0,1x menos 0,001x² mais 0,0004x³. Qual é a fórmula para a função de custo marginal C'(x)? Então nós temos que calcular a derivada de C em relação a x para pensar como C varia com a variação de x. Aumentando a nossa quantidade, quanto o nosso custo varia? Então qual é a derivada disso bem aqui? A derivada de 3.200 em relação a x é apenas zero, então não vou nem marcar. A derivada disso aqui? A derivado de 0,1x é 0,1. Vamos escrever aqui. E a derivada disso aqui? A derivada de 0,001x² vai ser igual 0,002x. E qual vai ser a derivada disso aqui? A derivada disso aqui vai ser igual... Vai ser igual a 0,0012x². Então isso aqui é igual à função de custo marginal. Se eu vir isso em um exercício, só preciso escrever essa expressão aqui. Mas isso, é claro, é igual à C'(x). Vamos para o próximo. Para o centavo mais próximo, qual o custo marginal de produzir o 101º galão de tinta? Digamos, então, que C'(100) é igual a tantos dólares por galão. Então o que eles querem que a gente faça aqui? O que eles querem que façamos é estimar o custo incremental do próximo galão usando a função de custo marginal. Então vamos dizer, por exemplo, vamos dizer que isso aqui são 100 galões no nosso eixo x, e vamos dizer que isso aqui é o nosso próximo galão, que é o galão 101. Nossa função de custo se parecerá com algo assim. Quando você calcular C'(100) terá a inclinação nesse ponto aqui, terá a inclinação da linha tangente nesse ponto. Então essa vai ser a inclinação que vai representar C'(100). O que realmente querem que descubramos é saber o exato custo real de produzir o 101º galão; o que faríamos seria dizer: "Veja, isso aqui é o custo do centésimo galão". Isso aqui é o C(100) e esse valor aqui em cima é C(101). Se quiser apenas calcular o custo exato de produzir a próxima unidade extra, você faria C(101) menos C(100). Isso é exatamente o que eles querem que a gente faça em seguida para ter o custo exato. Mas podemos estimá-lo utilizando o custo marginal. A derivada da nossa função de custo bem nesse ponto. Nós poderíamos descobrir qual é a inclinação de C'(100) e depois multiplicá-la por aquela unidade extra. Lembre-se: a inclinação é a variação em y, ou a variação no eixo vertical, sobre a variação no eixo horizontal. Então se você pegar a inclinação e multiplicá-la pela variação no eixo horizontal, que neste caso é uma unidade, você obterá a variação resultante do eixo vertical. Então, nesse primeiro, se você pegar C'(100) e multiplicá-lo por uma unidade, você ainda obterá C'(100). Você obterá essa distância bem aqui que podemos ver que é a aproximação dessa maior. Eu exagerei na diferença entre a curva e a linha tangente, mas vamos apenas calcular. Então vamos lá. Peguei minha calculadora. C'(100) será 0,1 menos 0,002 vez 100 mais 0,0012 vez 100², que será 10 mil, então é 11,90. Vai dar 11,90. Então é isso aqui. Nós apenas fizemos a inclinação vezes 1 e estamos fazendo um galão extra, e conseguimos essa aproximação, que é essa distância, 11,90. Agora vamos realmente calcular essa coisa aqui. Mas antes disso vamos escrever as expressões para ficar mais fácil de usar a calculadora. Então vamos lá. Primeiro eu vou escrever a do 101º galão, que vai ser 3.200 mais 0,1 vez 101 menos 0,001 vez 101² mais 0,0004 vez 101³. Tudo isso, então, menos 3.200 mais 0,1 vez 100 menos 0,001 vez 100² mais 0,0004 vez 100³. Vamos pegar a calculadora e calcular isso. 3.200 será cancelado, então nem preciso digitar. Então vamos ver. Podemos escrever isso como 0,1 vez 101 menos 100. Isso será 1, nem preciso fazer, então. Portanto isso será apenas 0,1. Então nós teremos -0,001 vez 101² menos 100². Nós teremos mais 0,0004 vez 101³ menos 100³. Isso vai nos dar... Disseram para pegar o centavo mais próximo, então isso vai nos dar 12,02. Podemos ver que isso daqui foi uma bela aproximação da real diferença. Veja que foi bem próximo. Mas você pode estar se perguntando: "Por que essa discrepância?" Lembre-se: o custo marginal dessa derivada é apenas para a próxima diminuição. Logo, a taxa de... Vai ser a taxa de variação instantânea, e a cada diminuição incremental foi ficando mais e mais cara, porque a curva não tem uma inclinação constante, não tem uma taxa de variação constante. Como você pode ver, isto é uma aproximação linear e isso aqui é um valor exato.