Custo marginal e cálculo diferencial

RKA2G - Vamos dizer que eu tenha uma fábrica que esteja produzindo alguma coisa e que eu queira fazer um modelo matemático que relacione o custo de produção com a quantidade de produção. Para construir esse modelo, a gente pode começar plotando um gráfico que relacione essas duas variáveis. Por exemplo, a gente poderia colocar o eixo "y" sendo o custo para produzir uma certa quantidade, esse custo em função da quantidade produzida. E aqui, no eixo "x", a gente teria a quantidade produzida. Vamos dizer que o custo de produção em função da quantidade produzida tenha um gráfico semelhante a este. Claro que, mesmo que eu não produza nada, ainda vai ter um custo. Pode ser o aluguel do galpão que eu estou utilizando, alguns funcionários que estão trabalhando mesmo nesse período em que eu não estou produzindo... Vamos dizer, então, que este custo que eu tenho, mesmo sem produzir nada, seja igual a mil reais. Então, aqui a gente tem um custo, em que esse custo está em função da quantidade produzida. Aí vamos dizer que, ao produzir 100 quantidades desse produto, eu tenha um custo igual a 1.300 reais. Claro, estou apenas querendo me preocupar com as ideias do cálculo, não tanto com termos de economia. Mas, se você perceber bem, à medida que a gente produz mais produtos, o custo vai ficando cada vez maior. Isso faz muito sentido, porque pode ser que eu esteja produzindo alguma coisa em que essa coisa vai ficando cada vez mais rara no mercado, ou seja, um produto em que a matéria-prima vai se tornando escassa na natureza e, à medida que eu for produzindo mais, esse produto vai se tornando cada vez mais caro para eu adquirir. Então, quanto mais produto eu vou consumir, obviamente, mais caro vai ficar o custo de produção. Pelas ideias de cálculo, vamos dizer que, neste ponto aqui, eu queira determinar a inclinação da reta tangente a este ponto. Como a gente consegue determinar a inclinação desta reta tangente? Para calcular a inclinação desta reta tangente, basta calcular a variação no eixo "y" pela variação no eixo "x". Então, a gente poderia pegar a variação do custo pela variação da quantidade produzida. Assim eu consigo determinar a inclinação dessa reta tangente. Mas, se eu queira saber a inclinação neste ponto específico, nem um pouquinho a mais e nem um pouquinho a menos, ou seja, neste ponto, mesmo sem o 1.300. Para fazer isso, a gente poderia pegar a função C(q) e derivar em relação a "q". Assim, vamos conseguir determinar a inclinação da reta tangente neste ponto específico. Que ponto específico seria este? Seria neste ponto em que a quantidade produzida é igual a 100. Por que é interessante fazer isso? É interessante porque, com isso, a gente vai conseguir determinar o que a gente chama de "custo marginal". Saber o custo marginal é algo interessante porque vai nos dizer o custo de produção do produto naquele ponto específico em que a gente está produzindo aquela certa quantidade. Vamos supor que a nossa fábrica seja de suco de laranja. E que, neste momento, a gente esteja produzindo uma certa quantidade de suco de laranja em que o custo de produção de cada caixa do suco de laranja seja igual a 6 reais. Obviamente que, se o custo for 6 reais, eu posso vender essa caixa de suco de laranja por 7 reais. Assim, eu vou estar saindo no lucro. No entanto, à medida que eu aumento a quantidade de produção, o custo de produção vai ficando cada vez maior. Mas, supondo que eu pegue aqui um outro ponto, em que eu esteja produzindo uma quantidade muito grande, em que o custo de produção agora está saindo a 10 reais por cada caixa. Se eu estou agora gastando 10 reais para produzir cada caixa, não é mais interessante vender a 7 reais, porque aí eu vou estar saindo no prejuízo. Então, não é interessante produzir toda essa quantidade de suco de laranja. E também não vai valer vender mais caro. Então, qual é a ideia aqui? Procurar um ponto de equilíbrio, em que eu consiga produzir uma certa quantidade de produtos, que no nosso exemplo é o suco de laranja, conseguir vender a um preço acessível, de uma forma que eu tenha um lucro. E uma forma de conseguir fazer isso é através desta derivada aqui. Da derivada do custo de produção em relação à quantidade produzida. Ou, simplesmente, C'(q). Isso, como eu falei, vai me dizer o custo marginal. E isso representa para a gente a taxa de variação de custo de produção em relação à quantidade de produção. Se tivesse uma relação constante aqui, ou seja, se o resultado disso não se alterasse, a gente iria poder produzir qualquer quantidade, que o custo de produção teria uma relação direta, ou seja, linear, com essa quantidade produzida. Nesse caso, a caixa de suco de laranja sempre teria um custo de 6 reais. Assim, eu poderia vender infinitamente a 7 reais. Só que não é o que acontece. A gente não tem laranjas ilimitadas no mundo. À medida que a gente produz mais, a quantidade de produtos naturais vai diminuindo e com isso o custo de produção vai se tornando cada vez maior. Se observar aqui, você vê até isso. Se eu produzir apenas um átomo a mais desse produto, esse átomo a mais já vai fazer com que o custo de produção desse produto fique maior. E a gente consegue modelar isso através da taxa de variação do custo de produção em relação à quantidade produzida, que é a derivada da função que relaciona o custo de produção com a quantidade produzida. O legal, também, é que você consegue fazer esses modelos para diversas outras coisas, como, por exemplo, o lucro marginal ou a receita marginal.