Revisão da regra de L'Hôpital

A regra de L'Hôpital nos ajuda a calcular limites indeterminados do tipo ${\displaystyle \frac{0}{0}}$‍ ou ${\displaystyle \frac{\mathrm{\infty }}{\mathrm{\infty }}}$‍.

Em outras palavras, ela nos ajuda a calcular ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{u(x)}{v(x)}}}$‍, em que ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}u(x)=\underset{x\to c}{lim}v(x)=0}$‍ (ou, alternativamente, em que ambos os limites sejam $\pm \mathrm{\infty }$‍).

A regra diz essencialmente que se o limite ${\displaystyle \underset{x\to c}{lim}{\displaystyle \frac{u^{\prime }(x)}{v^{\prime }(x)}}}$‍ existe, então os dois limites são iguais:

Vamos calcular, por exemplo, ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{7x-\mathrm{sen}(x)}{x^2+\mathrm{sen}(3x)}}}$‍.

Substituir $x=0$‍ em ${\displaystyle \frac{7x-\mathrm{sen}(x)}{x^2+\mathrm{sen}(3x)}}$‍ resulta na forma indeterminada ${\displaystyle \frac{0}{0}}$‍. Então vamos usar a regra de L’Hôpital.

Observe que apenas foi possível usar a regra de L’Hôpital porque o limite ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}{\displaystyle \frac{{\displaystyle \frac{d}{dx}}[7x-\mathrm{sen}(x)]}{{\displaystyle \frac{d}{dx}}[x^2+\mathrm{sen}(3x)]}}}$‍ realmente existe.

Vamos calcular, por exemplo, ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}(1+2x{)}^{{}^{\frac{1}{\mathrm{sen}(x)}}}}$‍. Substituir $x=0$‍ na expressão resulta na forma indeterminada $1^{{}^{\mathrm{\infty }}}$‍.

Para facilitar a análise da expressão, vamos calcular seu log natural (este é um truque comum quando se lida com funções exponenciais compostas). Em outras palavras, ao considerarmos $y=(1+2x{)}^{{}^{\frac{1}{\mathrm{sen}(x)}}}$‍, vamos encontrar o ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\ln (y)}$‍. Depois de o encontrarmos, conseguiremos calcular o ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}y}$‍.

$\ln (y)={\displaystyle \frac{\ln (1+2x)}{\mathrm{sen}(x)}}$‍

Substituir $x=0$‍ em ${\displaystyle \frac{\ln (1+2x)}{\mathrm{sen}(x)}}$‍ resulta na forma indeterminada ${\displaystyle \frac{0}{0}}$‍; então, agora, é a vez de a regra de L’Hôpital nos ajudar a responder nossa pergunta!

Descobrimos que ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\ln (y)=2}$‍, o que significa que ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}y=e^2}$‍.