Regra de L'Hôpital: problema desafiador

RKA3JV - Queremos calcular o limite de "x" tendendo a 1 para a expressão "x" dividido por (x - 1) menos 1 dividido por lnx. Vamos ver o que acontece quando nós tentamos com 1. O que acontece se avaliarmos esta expressão para x = 1? Teremos 1 aqui, dividido por 1, menos 1. Teremos algo do tipo 1 dividido por zero menos 1 dividido por ln1. Então, "e" elevado a qual potência será igual a 1? Qualquer número elevado a zero é igual a 1. Então, "e" elevado a zero será igual a 1. Então, um logaritmo natural de 1 será igual a zero. Então, temos o estranho indefinido 1 dividido por zero menos 1 dividido por zero. E esta é uma forma indefinida bizarra, mas não é o tipo de forma indeterminada que precisamos para a regra de L'Hôpital. Não teremos zero dividido por zero, e não teremos infinito dividido por infinito. Bem, talvez você diga: ok, este não é um problema para a regra de L'Hôpital. Nós temos que calcular este limite de alguma forma. E eu gostaria de dizer para não desistir agora, talvez possamos manipular algebricamente isto de alguma forma que nos dará a forma indeterminada para a regra de L'Hôpital. Então, poderemos aplicar a regra. E para fazer isso, vamos ver o que acontece se somarmos estas duas expressões. Se somarmos estas expressões, teremos o denominador comum. Será (x - 1) vezes o logaritmo natural de "x". Eu apenas multipliquei os denominadores. E o numerador será, bem, se eu multiplicar este termo inteiro pelo log natural de "x", será "x" vezes o log natural de "x". E multiplicaremos este termo inteiro por (x - 1). Então, temos menos (x - 1). E podemos, agora, fazer por partes. Estas expressões são a mesma coisa. Isto é o mesmo que "x" dividido por (x - 1), pois os logs naturais se cancelam. Isto daqui é a mesma coisa que 1 dividido pelo log natural de "x", pois os termos (x - 1) se cancelam. Eu espero que você perceba que tudo o que fiz foi adicionar estas duas expressões. Assim, vamos ver o que acontece se pegarmos o limite para "x" tendendo a 1 desta expressão, porque são as mesmas coisas. Conseguimos algo mais interessante? O que temos aqui? Temos 1 vezes log natural de 1. O log de 1 é zero. Logo, temos zero aqui. Então, aquilo é zero. - 1 - 0. Então, será um outro zero menos zero. Então, zero no numerador. E no denominador temos 1 - 1, que é zero, vezes o log natural de 1, que é zero. Então, zero vezes zero é zero. E aí, está! Nós temos a forma indeterminada que precisamos para a regra de L'Hôpital. Assumindo que calculamos a derivada disto e a dividimos pela derivada disto. E este limite existe. Então, isto será igual ao limite de "x" tendendo a 1. E vamos calcular a derivada disto em roxo. Vamos calcular a derivada deste numerador aqui. E para este termo apenas a regra do produto. A derivada de "x" é 1. Então, uma vez o log natural de "x". A derivada deste primeiro termo, vezes o segundo termo. E teremos que adicionar a derivada do segundo termo mais 1/x, vezes este primeiro termo. Então, 1/x vezes "x". Isto é apenas 1. Então, temos menos a derivada de (x - 1). A derivada de (x - 1) é apenas 1. Então, será apenas -1. Logo, tudo isto é dividido pela derivada desta coisa. Vamos calcular a derivada deste primeiro termo. A derivada deste primeiro termo de (x - 1) é apenas 1. Multiplicamos pelo segundo termo, você obterá o log natural de "x". Então, mais a derivada do segundo termo. A derivada do log natural de "x" é 1/x vezes (x - 1). Eu acredito que podemos simplificar este 1/x vezes "x" que é 1, subtraindo 1 disto. Então, isto cancela com isto. Então, esta expressão inteira pode ser reescrita como o limite contendo "x" tendendo a 1, o numerador é apenas o log natural de "x" e o denominador é o log natural de "x" + (x - 1)/x. Agora, vamos tentar avaliar este limite. Se pegarmos "x" aproximando do log natural de "x", isto nos dará, bem, o log natural de 1 é zero. E aqui temos o log natural de 1, que é zero, mais 1 - 1/1 será outro zero. 1 menos 1 é zero. E teremos zero mais zero. Temos zero dividido por zero novamente. Novamente, aplicaremos a regra de L'Hôpital. Então, vamos pegar a derivada disto e dividir pela derivada disto. Então, se vamos calcular o limite, será igual ao limite com "x" tendendo a 1, da derivada do numerador 1/x. Ln(x) é 1/x, dividido pela derivada do denominador. A derivada do log natural de "x" é 1/x mais a derivada de (x - 1)/x. Você pode ver desta forma, como 1/x vezes (x - 1). A derivada de "x" elevado a 1, menos 1. E nós temos a derivada desta primeira coisa vezes a segunda. E a derivada da segunda vezes esta primeira coisa. Então, a derivada do primeiro termo "x" elevado a -1 é -x elevado a -2, vezes o segundo termo. Vezes (x - 1) mais a derivada do segundo termo, que é 1 vezes o primeiro termo, mais 1/x. Então, isto será igual a, se avaliarmos "x" como 1, o numerador será 1/1, que é 1. E, definitivamente, não teremos mais uma indeterminação aqui e nem zero dividido por zero. E o denominador será, se avaliarmos isto para 1, isto é 1/1 que é 1, mais -1 elevado a -2. E você pode dizer 1 elevado a -2. É apenas -1. E você pode multiplicar este 1 - 1 que é zero. E este termo inteiro será cancelado. E teremos outro 1/1. Então, mais 1. Então, isto será igual a 1/2. E aí, está! Usando a regra de L'Hôpital e alguns passos, resolvemos algo que não víamos como. Apenas adicionamos estes dois temos e obtemos zero dividido por zero. Então, calculamos a derivada do numerador e o denominador duas vezes em linha. Para, eventualmente, obter nossos limites.