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Regra de L’Hôpital (funções exponenciais compostas)

Neste vídeo, usamos a regra de L'Hôpital para encontrar o limite de (senx)^(1/lnx) em 0.

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Transcrição de vídeo

RKA8JV - O que eu gostaria de abordar, neste vídeo, é o que eu considero ser um problema particularmente interessante de limites. Vamos dizer que queremos descobrir o limite de como "x" se aproxima de zero no sentido positivo de sen(x). E agora que fica interessante. sen(x)¹/ˡⁿˣ. Então, agora eu encorajo você a pausar este vídeo e veja se consegue iniciar, mesmo sabendo que pode ser um pouco complicado. Bom, eu estou supondo que você tentou. Alguns podem ter sido capazes de descobrir na primeira tentativa, mas eu vou admitir para você que a primeira vez que eu encontrei algo parecido eu não consegui resolver na primeira tentativa, então, não fique triste, ok? Vamos lá, vamos olhar o que temos aqui e pensar sobre estes componentes. Se eu tivesse que pensar sobre o limite quando "x" se aproxima de zero do sentido positivo de sen(x), Bom, isso é bem simples, isso vai ser zero. Assim, você poderia pensar que esta parte vai se aproximar de zero, e em seguida, podemos dizer que o limite quando "x" se aproxima de zero do sentido positivo de 1/lnx, e é por isso isso que temos que pensar nisso do sentido positivo, não faz sentido abordá-lo no sentido negativo. Você não pode usar log natural de um número negativo, mas quando se aproxima mais e mais de zero do sentido negativo, o logaritmo natural desses valores, você tem que aumentar "e" para valores cada vez mais negativos. Esta parte aqui vai se aproximar ao infinito negativo. Ele está indo para o infinito negativo, 1 sobre o infinito negativo, 1 dividido por números negativos, super grandes, ou de grande magnitude, bem, só vai se aproximar a zero, então, pode-se dizer que este aqui também vai ser igual a zero. Parece que isso não está ajudando muito, porque se esta coisa vai a zero, isso também está indo a zero, então, é uma implicação de que, bem, talvez esta coisa toda está indo de zero elevado a zero. Mas realmente, não sabemos quanto é, deixe-me fazer de outra cor, zero elevado a zero. Mas isso é uma daquelas coisas divertidas quando se pensa em matemática, justificativas de por que este pode ser zero e justificativas de por que este poderia ser 1. Mas realmente não sabemos o que fazer com isso, realmente não é uma resposta satisfatória. Neste momento, você deve estar se lembrando de algo. Já vimos algo sobre a regra de L'Hôpital. Se você não sabe o que estou falando, eu encorajo você a ver o vídeo introdutório sobre o assunto. Então, a regra de L'Hôpital, vamos escrever aqui, nos ajuda em situações onde tentamos superficialmente avaliar o limite, como por exemplo, formas indeterminadas, coisas como zero sobre zero, infinito sobre infinito e infinito negativo sobre infinito negativo. Vamos ver isso em detalhes no decorrer do vídeo. O que temos aqui é um zero elevado a zero, e isso aqui vai parecer, vai evocar as coisas que acabamos de ver sobre a regra de L'Hôpital. Bom, e mesmo com essa semelhança, nós vamos ver daqui a pouco que nós não podemos aplicar a regra de L'Hôpital a este caso, pelo menos, nós não podemos aplicar diretamente, porque a regra de L'Hôpital não se aplica a essa forma de zero elevado a zero. Mas o que podemos fazer é construir um problema onde a regra de L'Hôpital irá aplicar, e em seguida, usar isso para descobrir o que isso vai ser, e esta é a parte difícil deste exercício. Bom, o que eu quero dizer, vamos definir que y(x) vai ser igual a (senx)¹/ˡⁿˣ. Esta coisa aqui ao lado está dizendo, essencialmente, o que é o limite quando "x" se aproxima de zero do sentido positivo de "y". E mais uma vez, nós não sabemos. O que podemos fazer aqui é um truque que você pode ver bastante. A qualquer momento você vê coisas estranhas com expoentes, e se você está calculando limites ou derivadas, você vai ver que é muitas vezes útil pegar o logaritmo natural em ambos os lados. Bem, e o que acontece quando você pega o log natural de ambos os lados aqui? Bom, então vai ficar ln(y) é igual a logaritmo natural desta coisa aqui, ln(senx)¹/ˡⁿˣ. Bom, sobre o último aqui, o que nós sabemos é que o logaritmo de algo com um expoente é a mesma coisa que o expoente, então "1/lnx", vezes o logaritmo desta coisa, que é o sen(x), então, sen(x). Ou então, podemos dizer que o ln(y) é igual ao ln(senx)/ln(x). Bem, isso daqui é muito interessante, mas por que estamos nos preocupando com isso? Ou seja, por que eu fiz isso? Bem, em vez de pensar sobre o que é o limite, que tal se nós pensarmos qual é o limite quando "x" se aproxima de zero do sentido positivo de "y"? Vamos pensar qual é o limite para esta expressão bem aqui. Então, quando "x" se aproxima de zero do sentido positivo, qual vai ser o ln(y)? Então, vamos pensar sobre esse cenário. Queremos descobrir qual é o limite quando "x" se aproxima de zero do sentido positivo deste negócio bem aqui, então, é o ln(senx)/ln(x). Agora, por que isso é interessante? Bom, vamos ver aqui o numerador. Isto aqui vai se aproximar de infinito negativo, e a parte de baixo também vai levar a gente para o infinito negativo. Então, aqui nós vamos ter uma forma indeterminada, como nós já discutimos anteriormente. Isso nos leva à forma indeterminada de infinito negativo sobre infinito negativo. Isso pode nos indicar que a regra de L'Hôpital pode ser aplicada aqui. Poderíamos dizer que isto aqui, então, vai ser igual ao limite quando "x" se aproxima de zero do sentido positivo. Então, posso tirar a derivada do numerador e do denominador. Primeiro resolvendo o numerador, apenas aplicando a regra da cadeia, então vai ser a derivada de sen(x), é cos(x). Então, a derrivada de ln(senx) a respeito de sen(x) vai ser 1/sen(x), então, vai cos(x)/sen(x). E a derivada do denominador vai ser 1/x. Isso dá igual ao limite quando "x" se aproxima de zero pelo sentido positivo de cos(x). Bom, vamos vamos ver esta parte debaixo aqui. Este 1/x pode ser multiplicado ao inverso, então, seria "x" vezes cos(x)/sen(x). Quando eu aplico, quer dizer, se eu aplicar o limite aqui, eu vou acabar ficando com zero sobre zero, e eu acho que isso não é muito satisfatório. Então, mais uma vez, é aqui que nossas propriedades do limite podem ser úteis. Como dá para ver, isto não é um dos problemas mais triviais, isto vai exigir um pouco de reconhecimento de padrões. Nós já sabemos que o limite do produto de duas funções é igual ao produto dos seus limites, e esta é a mesma coisa que o limite quando "x" se aproxima de zero do sentido positivo. Se pegarmos esta parte, vamos fazer de outra cor. Se pegamos esta parte, isto vai ser x/sen(x). Então, deixe-me colocar o parênteses aqui, vai ser isto vezes o limite quando "x" se aproxima de zero do lado positivo de cos(x). Bom, isso aqui é bem simples. Se você apenas calcular em zero, isso aqui vai ser igual a 1. Mas, e esta coisa aqui? Bom, isso pode acabar soando um alarme, porque, se você vir do limite de "x" se aproximando de zero, de x/sen(x), isso pode acabar com uma avaliação de que vai ser zero sobre zero, e isso nos indica que podemos aplicar a regra de H'ôpital aqui. Então, isso vai ser a mesma coisa que o limite quando "x" se aproxima de zero do sentido positivo. A derivada do topo é 1 e a derivada da parte inferior é cos(x). E isso aqui, 1/cos(x) é a mesma coisa que 1. Então, temos que aplicar a regra de L'Hôpital novamente e perceber que esse limite vai ser igual a 1. Então, 1 vezes 1 faz com que isto aqui também seja igual a 1. Então, esta coisa bem aqui vai se aproximar de 1, que nos diz que isso também está se aproximando de 1. E o que sabemos agora? Sabemos agora, bom, vou escrever aqui. Sabemos agora que o limite do ln(y) quando "x" se aproxima de zero do sentido positivo, isso vai ser igual a 1. Ok, se ln(y) está se aproximando de 1, então "y" está se aproximando do quê? Ok, então vamos recordar. Nós sabemos que esta coisa aqui é 1 e nós sabemos que também é o ln(y). Então, sabemos que esta coisa aqui é 1 e também sabemos que esta mesma coisa aqui é o ln(y). Bom, então essas coisas são equivalentes e são iguais a 1. ln(y) se aproxima de 1 qual deve ser o "y"? O "y" deve se aproximar do quê? Bom, "y" deve se aproximar de ''e", porque ln(e) = 1. Então "y" deve se aproximar de "e". E agora, finalmente terminamos, porque era isso que importava, nós queríamos saber o que era "y". Lembre-se, definimos essa coisa toda como "y", perguntamos do que "y" está se aproximando quando "x" se aproxima do zero do sentido positivo. Bem, e descobrimos que o ln(y) está se aproximando de 1 enquanto "x" se aproxima de zero do sentido positivo. Significa que "y" tem que se aproximar de "e". E isso nos diz que esta coisa, esta coisa bem aqui, é igual a "e".