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Exemplo de aproximação linear (antigo)

Um vídeo mais antigo no qual aproximamos ln(x²) usando a aproximação linear. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

Considere a função f de x igual ao logaritmo natural de x ao quadrado Suponha que L de x seja a linearização local de f, para a igual a e. Qual é a sentença para L de x? Primeiro vamos nos certificar da compreensão sobre o que estamos querendo. Copiei e colei o exercício em um rascunho para trabalharmos. Vamos inicialmente traçar um esboço da f de x, A reta L de x representa a linearização local, e estamos centrando em x igual a e. Se estamos centrando em um determinado valor, chamado por convenção de a, ele será o valor ao redor do qual faremos aproximações. Vamos determinar alguns pontos apenas para visualizar f de x. Na escala temos o um, o dois vamos espalhar um pouco Então temos o um, o dois, o três. f de um vale zero. O logaritmo natural de um ao quadrado vale zero. E podemos também pensar em f de e, onde centralizaremos nossa linearização. Vamos pensar em valores nessa região. o número "e" está mais ou menos aqui. E f de e é igual ao logaritmo natural de e ao quadrado, que vale dois. Temos um e dois, e assim outro ponto do gráfico, que ficará parecido com isto. Este é o esboço do gráfico de y igual a f de x. E qual o significado da linearização local de f em a, para a igual a e? A convenção é usar a letra a quando tratamos de linearização local. Tudo bem, uma vez que esse será o valor onde faremos as aproximações. E aqui temos o nosso valor de a. Essencialmente vamos procurar a inclinação da reta tangente no ponto (e, f de e). L de x descreverá a reta a seguir. Isto aqui será y igual a L de x, mas escreveremos de uma forma mais apropriada para a linearização local aproximando os valores da função para valores de x ao redor de e. O que queremos dizer com isso? Bem, a forma genérica para se descrever L de x diz que L de x é igual à função calculada no ponto onde estamos centralizando, no caso, o ponto a então será igual a este valor que aparece no gráfico mais a inclinação da reta tangente em a, vezes a diferença entre o valor de x que estamos aproximando e a. E porquê tudo isso faz sentido? Digamos que você esteja tentando descobrir o valor aproximado da função neste ponto. A função avaliada estaria aqui, mas queremos usar a linearização local nos perguntando: qual é o valor de L deste x? Então precisamos descobrir isto aqui. Começamos em f de a, aqui e então somamos à inclinação da curva multiplicada à diferença entre os dois valores. x menos a equivale a esta distância. Multiplicando pela inclinação temos a variação em y. A variação em y, mais o valor de y nos dará o valor que procuramos. Bem aqui. Isto pode ser útil em aproximações. Digamos que que queira saber o valor aproximado do logaritmo natural de e mais 0.2 ao quadrado, e podemos determiná-lo. Vamos analisar este caso particular. Sabemos que a é igual a e. Substituímos nos três locais. E quanto a f de e? f de e será o logaritmo natural de e ao quadrado. E quanto a f linha de e? Para determinar o valor de f linha de x, usaremos a regra da cadeia. Será a derivada do logaritmo natural de x ao quadrado em relação a x ao quadrado, então teremos um sobre x ao quadrado, vezes a derivada de x ao quadrado em relação a x, que vale dois x. Simplificando teremos dois sobre x. Assim, f linha de e será dois sobre e, vezes x menos e. Vamos simplificar os termos da sentença para L de x, Assim, o logaritmo natural de e ao quadrado equivale à potência que devemos usar em e para obter e ao quadrado, o que obviamente vale dois. Portanto dois mais dois sobre e, vezes x menos e. É esta opção aqui. Apenas para deixar claro como pode ser útil, suponha que estejamos tentando encontrar o valor aproximado de f de e mais 0.1 Substituindo teremos e mais 0.1 ao quadrado e precisamos determinar o valor do seu logaritmo natural sem o uso de uma calculadora, o que me parece ser muito difícil. Mas podemos usar a linearização local. Ela será aproximadamente igual a dois mais dois sobre e, vezes e mais 0.1, menos e. Teremos então apenas 0.1 Você precisará de uma calculadora para determinar esse valor, ou pode apenas deixar como está, pois é uma aproximação bem razoável para o valor do logaritmo natural de e mais 0.1 ao quadrado. Voltando ao nosso problema, vamos verificar a resposta que será esta aqui E está correta. Legendado por: Tatiana Ferrari D'Addio. Revisado por: Raiza Carlos de Souza