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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 3
Lição 16: Teorema do valor médio- Teorema do valor médio
- Exemplo do teorema do valor médio: polinômio
- Exemplo do teorema do valor médio: função de raiz quadrada
- Como usar o teorema do valor médio
- Aplicação do teorema do valor médio
- Teorema do valor médio (antigo)
- Revisão sobre o teorema do valor médio
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Teorema do valor médio
O teorema do valor médio afirma que se uma função f é contínua no intervalo fechado [a,b] e diferenciável no intervalo aberto (a,b), então existe um ponto c no intervalo (a,b) tal que f'(c) é igual à taxa de variação média da função em [a,b]. Em outras palavras, a tangente do gráfico em algum ponto de (a,b) é paralela à reta secante sobre [a,b]. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA1JV - Olá, tudo bem? Neste vídeo, nós vamos conversar um pouco a respeito do teorema do valor médio. E, para gente conversar a respeito
do teorema do valor médio, nós precisamos levar
em consideração uma função e que essa função tem
algumas particularidades. Por exemplo, nós vamos
dizer que a nossa função "f" é contínua em um certo intervalo. A função "f" vai ser contínua
em um certo intervalo, em um certo intervalo aqui
que vai variar entre 2 pontos. E que esses dois pontos
são os pontos "a" e "b". Quando eu coloco esses colchetes, eu estou dizendo que
esse é um intervalo fechado. Ou seja, os pontos "a" e "b
fazem parte desse intervalo. A nossa função precisa ser
contínua em todo esse intervalo que vai desde "a" até o ponto "b". Lembrando que "a" e "b"
fazem parte do intervalo. Além disso, essa função também precisa ser
diferenciável nesse intervalo. Além de ser contínua, ela vai ter que ser diferenciável
nesse intervalo também que vai de "a" até "b". Só que agora o nosso intervalo
não precisa ser fechado, ou seja, os pontos "a" e "b"
não precisam ser diferenciáveis. Mas todos os outros valores
dentro desse intervalo precisam, então, nós temos aqui que essa função vai ser diferenciável nesse
intervalo que vai de "a" até "b". Lembrando que, para uma
função ser diferenciável, é necessário que a derivada da função
seja definida dentro desse intervalo. Vamos plotar um gráfico aqui, só para a gente ter uma ideia
do comportamento dessa função. Aqui nós vamos ter o nosso gráfico, aqui o nosso eixo "y"
e aqui o nosso eixo "x". Aqui vai estar o nosso
ponto em que o "x" é "a" e aqui o nosso ponto
em que o nosso "x" é "b". Nós temos o nosso intervalo que vai de "a" até "b". Aqui a gente vai ter
um determinado ponto em que esse ponto vai
ter as coordenadas "a" e função de "a", ou seja, f(a). E aqui nós vamos ter um outro ponto em que esse ponto vai
ter coordenadas "b", f(b). E, ao longo desse intervalo,
a nossa função vai ter esse comportamento, então, essa aqui vai ser
a nossa função y = f(x). O que o teorema do valor médio
diz para a gente? O teorema do valor médio diz para a gente que a taxa de variação média
dentro desse intervalo vai ser igual à taxa de variação
instantânea dessa função em algum ponto desse intervalo. Analisando graficamente aqui, se a gente fosse traçar
a taxa de variação média, bastaria apenas pegar a reta secante entre esses dois pontos "a" e "b". Assim, a gente teria essa reta secante entre esses dois pontos "a" e "b". A inclinação dessa reta secante indica para a gente a taxa
de variação média dessa função ao longo desse
intervalo "a" e "b". O teorema do valor médio
vai dizer para a gente que, em algum ponto ao longo desse intervalo, a gente vai ter uma reta tangente que vai ter a mesma inclinação
dessa reta secante. Por exemplo, se a gente
pegar esse ponto aqui, nesse ponto, a gente vai ter
uma reta tangente que tem a mesma inclinação
dessa reta secante. Então a taxa de variação
instantânea nesse ponto vai ser igual a essa
taxa de variação média. O mesmo acontece se a gente
pegar esse outro ponto aqui, nesse outro ponto, a gente também
vai ter uma reta tangente aqui que tem uma inclinação igual à reta
secante que liga os pontos "a" e "b". Nós já analisamos graficamente aqui o que o teorema do valor
médio diz para a gente. Diz para a gente que, em algum ponto, nesse caso, serão dois pontos, a gente vai ter uma reta tangente que vai ter a mesma inclinação
que a reta secante que liga os dois pontos
aqui desse intervalo. Vamos dizer que esse ponto
seja um ponto "c", ponto "c" em que a inclinação
da reta tangente que passa por esse ponto vai ter a mesma inclinação da reta secante que liga os pontos "a" e "b". Sabendo disso, nós podemos dizer que o teorema do valor médio
diz para a gente que, quando a gente tem uma função contínua
em um certo intervalo, e que nesse intervalo
essa função é diferenciável, vai existir, ou seja, existe um valor "c" em que esse valor "c"
pertence a esse intervalo "a" e "b". Lembrando que, nesse caso, o "c" não pode ser "a"
e nem pode ser "b", tudo bem? O "c" você vai pertencer a esse intervalo que vai desde o "a" até o "b",
mas é o intervalo aberto. Então o "a" e o "b" não fazem
parte desse intervalo. Isso significa que o "c" é maior que "a"
e menor que "b". Pode ser qualquer valor
dentro desse intervalo, desde que o valor seja maior que "a"
e que seja menor que "b". Tal que taxa de variação média
entre esses dois pontos, como a gente vai representar essa taxa
de variação média entre esses dois pontos? A gente sabe que a taxa de variação média, nesse caso, vai ser
a variação do eixo "y". Então, a gente pode colocar aqui um Δy sobre a variação no eixo "x". E qual seria a variação no eixo "y" e qual seria a variação no eixo "x"? Para a gente encontrar
a variação no eixo "y", basta a gente saber o quanto foi
alterado aqui no eixo "y" desde f(a) até f(b). A gente poderia traçar, por exemplo, essa reta, partindo aqui,
desde o ponto f(a) até o ponto f(b). O Δy seria, na verdade, aqui f(b), f(b) menos f(a). Essa seria a variação no eixo "y", Δy. Isso tudo aqui dividido
pela variação no eixo "x", a variação no eixo "x" é
o quanto que vai ser alterado desde o ponto "a" até o ponto "b". Desde a coordenada "a"
até a coordenada "b". Nosso Δx aqui vai ser o "b" menos "a", dessa forma, a gente vai ter Δy sobre Δx. E isso aqui vai indicar para a gente a taxa de variação média
desde o ponto a, f(a), até o ponto "b", f(b). Isso aqui vai ser igual, então, a quê? O teorema do valor médio
diz para a gente que essa taxa de variação média vai ser igual à taxa de variação instantânea
da função nesse ponto "c'. Para a gente determinar a taxa
de variação instantânea de uma função em determinado ponto, basta calcular a derivada
dessa função nesse ponto. E, nesse caso, vai ser
a derivada da função "f', calculada nesse ponto "c". Então é isso aqui que o teorema
do valor médio diz para a gente. Que a taxa de variação média de uma função dentro de um certo intervalo,
que vai de "a" até "b", desde que essa função seja
contínua nesse intervalo, e diferenciável nesse intervalo, vai ser igual à taxa de variação
instantânea dessa função calculada nesse ponto "c". Ou seja, a taxa de variação instantânea calculada em um certo ponto, vai ser igual à taxa de variação média
ao longo de todo o intervalo. E é isso que o teorema do
valor médio diz para a gente.