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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 3
Lição 11: Movimento retilíneo- Problemas sobre movimento: quando uma partícula está acelerando
- Problemas sobre movimento: cálculo da aceleração máxima
- Problemas sobre movimento (cálculo diferencial)
- Análise gráfica do movimento retilíneo
- Distância total percorrida com derivadas
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Problemas sobre movimento: quando uma partícula está acelerando
A posição de uma partícula que se move sobre o eixo x é dada por s(t)=t³-6t²+9t. Fizemos a análise para encontrar os tempos em que a partícula está "acelerando". Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA1JV - Vamos pegar um eixo orientado onde uma partícula está se movendo. Vamos colocar aqui o zero
apenas como referência e o lado positivo como
sendo para a direita. A pergunta é quando é que a velocidade
absoluta está aumentando? Nós temos dois cenários. O primeiro cenário é quando
a velocidade for positiva, ou seja, ele está indo para a direita
a uma velocidade positiva. E está acelerando também
para a direita, ou seja, com isso a velocidade dele
está aumentando. Vamos chamar isso aqui
de primeira configuração, ou seja, a velocidade está para a direita e a aceleração também está para a direita. A outra maneira com que
a velocidade vai estar aumentando, é se a velocidade for negativa
e a aceleração também for negativa, ou seja, está indo para a esquerda. E a aceleração também
está para a esquerda. Você poderia pensar o seguinte: se ele passa de -10 quilômetros por hora,
para -100, -100 seria um valor menor do que -10. Mas você pode tirar essa dúvida
sobre velocidade absoluta, se você gostaria de ser atropelado por um caminhão que está
a -100 quilômetros por hora ou -10 quilômetros por hora. O que nós estamos vendo
é a velocidade absoluta. Neste caso, quando ele está com
a velocidade pela esquerda, está acelerando para a esquerda, sua velocidade absoluta
também está aumentando. Vamos supor que a função da posição
seja t³ menos 6t² mais 9t, obviamente, com "t" maior ou igual a zero. A primeira derivada s'(t) vai nos dar a velocidade instantânea
da partícula nesse móvel. Ou seja, ds/dt vai ser igual a v(t). Então, nosso v(t) seria a derivada
da função da posição pelo tempo, ou seja 3t² menos 12t mais 9. Temos aqui a nossa função
da velocidade em função do tempo. Vamos desenhar o gráfico para ver o que está acontecendo
com a velocidade pelo tempo. Nós temos alguns pontos. A velocidade no instante zero
vai ser igual a 9, portanto, temos um ponto aqui que é 9, ou seja, quando o tempo for zero, ele vai estar com a velocidade 9. Quais são os outros pontos
que podemos ver? Podemos verificar quando é que
a velocidade vai ser igual a zero. A velocidade vai ser igual a zero quando 3t² menos 12t
mais 9 é igual a zero. Dividindo tudo por 3, vamos ter t² menos 4t mais 3 igual a zero. E agora podemos fatorar
esse polinômio facilmente, pois sabemos qual o número
que multiplicado dá 3, e que somado dá 4, seria 3 e 1. Portanto (t - 1) vezes (t - 3). Isso aqui, se você multiplicar, volta
a ter esse polinômio aqui de cima, ou seja, nós temos "t" igual a 1
ou "t" igual a 3 para a velocidade ser zero. Então temos aqui 1, temos aqui 3
e aqui o 2. Então temos 1, temos o 3 e sabemos que a curva vai
passar por esses dois pontos. A concavidade, nós sabemos
que é para cima, uma vez que o nosso coeficiente
que está multiplicando t² é positivo. Então, ele vai ter um ponto de mínimo. Qual é esse ponto de mínimo? Como é que podemos saber? Sabemos que ele ocorre em 2,
pois ele é simétrico. Então, o v(2) vai ser igual a 3 vezes 2², menos 12, vezes 2, mais 9. 3 vezes 2² vai dar 12, menos 12 vezes 2, dá 24,
que vai dar -12, mais 9, vamos ter -3. Portanto esse ponto aqui é -3 e podemos assim desenhar a nossa
parábola que identifica a velocidade. O caso é, queremos saber,
quando a velocidade for positiva e a aceleração também. E quando a velocidade for negativa e a aceleração também. Nós sabemos que, neste gráfico,
nós temos a velocidade negativa entre 1 e 3. Ou seja, a velocidade é menor do que zero para "t" entre 3 e 1, a nossa velocidade é negativa. Agora a aceleração,
a aceleração é negativa quando a inclinação dela for negativa
em relação à velocidade. Sabemos que a aceleração
em relação ao tempo vai ser a derivada da velocidade
em relação ao tempo. Que vai dar a nossa
inclinação neste gráfico que é derivada segunda da posição
em relação ao tempo. Portanto, nós temos que a aceleração
é negativa neste ponto aqui. E, neste ponto aqui, que nos interessa, tanto a velocidade quanto
a aceleração é negativa. Portanto, a aceleração é negativa
entre 1 e 2, ou seja, entre 1 e 2,
a aceleração é negativa. Temos aqui entre 1 e 2,
a aceleração é negativa. A aceleração também
é negativa entre zero e 1, mas não nos interessa onde queremos que a velocidade seja negativa e a aceleração também seja negativa. Ou seja, nós temos que
a aceleração é negativa, e a velocidade é negativa
para o instante entre 1 e 2. Este é para o nosso segundo caso. Este aqui sendo o nosso primeiro caso. A outra forma é quando a velocidade
for positiva e aceleração também. Neste caso aqui, a velocidade é positiva e a aceleração também
tem inclinação positiva. Ou seja, acima de 3, nós vamos ter
velocidade maior do que zero e a aceleração maior do que zero também, para o tempo maior do que 3. Podemos verificar também
da seguinte forma: a aceleração é a derivada da
velocidade em relação ao tempo. Ora, nós temos a velocidade
em relação ao tempo, então, a aceleração fica sendo a derivada, que é 6 vezes "t", menos 12. E realmente vamos verificar. Para a aceleração entre 1 e 2, nós temos 6 vezes 1, que dá 6, menos 12, vai dar um número negativo. Até 6 vezes 2,
12, menos 12, que daria zero, ou seja, entre 1 e 2,
a aceleração realmente é negativa. Então, aqui está correto. Para um instante maior do que 3, nós vamos ter, obviamente,
uma aceleração positiva. Então, temos uma aceleração positiva. Para um tempo maior do que 3, nós temos também a velocidade positiva. Portanto, a nossa solução é: a velocidade é negativa
e aceleração é negativa para os instantes entre 1 e 2. E a velocidade é positiva
e a aceleração também é positiva para o instante maior do que 3.