Problemas sobre movimento: quando uma partícula está acelerando

RKA1JV - Vamos pegar um eixo orientado onde uma partícula está se movendo. Vamos colocar aqui o zero apenas como referência e o lado positivo como sendo para a direita. A pergunta é quando é que a velocidade absoluta está aumentando? Nós temos dois cenários. O primeiro cenário é quando a velocidade for positiva, ou seja, ele está indo para a direita a uma velocidade positiva. E está acelerando também para a direita, ou seja, com isso a velocidade dele está aumentando. Vamos chamar isso aqui de primeira configuração, ou seja, a velocidade está para a direita e a aceleração também está para a direita. A outra maneira com que a velocidade vai estar aumentando, é se a velocidade for negativa e a aceleração também for negativa, ou seja, está indo para a esquerda. E a aceleração também está para a esquerda. Você poderia pensar o seguinte: se ele passa de -10 quilômetros por hora, para -100, -100 seria um valor menor do que -10. Mas você pode tirar essa dúvida sobre velocidade absoluta, se você gostaria de ser atropelado por um caminhão que está a -100 quilômetros por hora ou -10 quilômetros por hora. O que nós estamos vendo é a velocidade absoluta. Neste caso, quando ele está com a velocidade pela esquerda, está acelerando para a esquerda, sua velocidade absoluta também está aumentando. Vamos supor que a função da posição seja t³ menos 6t² mais 9t, obviamente, com "t" maior ou igual a zero. A primeira derivada s'(t) vai nos dar a velocidade instantânea da partícula nesse móvel. Ou seja, ds/dt vai ser igual a v(t). Então, nosso v(t) seria a derivada da função da posição pelo tempo, ou seja 3t² menos 12t mais 9. Temos aqui a nossa função da velocidade em função do tempo. Vamos desenhar o gráfico para ver o que está acontecendo com a velocidade pelo tempo. Nós temos alguns pontos. A velocidade no instante zero vai ser igual a 9, portanto, temos um ponto aqui que é 9, ou seja, quando o tempo for zero, ele vai estar com a velocidade 9. Quais são os outros pontos que podemos ver? Podemos verificar quando é que a velocidade vai ser igual a zero. A velocidade vai ser igual a zero quando 3t² menos 12t mais 9 é igual a zero. Dividindo tudo por 3, vamos ter t² menos 4t mais 3 igual a zero. E agora podemos fatorar esse polinômio facilmente, pois sabemos qual o número que multiplicado dá 3, e que somado dá 4, seria 3 e 1. Portanto (t - 1) vezes (t - 3). Isso aqui, se você multiplicar, volta a ter esse polinômio aqui de cima, ou seja, nós temos "t" igual a 1 ou "t" igual a 3 para a velocidade ser zero. Então temos aqui 1, temos aqui 3 e aqui o 2. Então temos 1, temos o 3 e sabemos que a curva vai passar por esses dois pontos. A concavidade, nós sabemos que é para cima, uma vez que o nosso coeficiente que está multiplicando t² é positivo. Então, ele vai ter um ponto de mínimo. Qual é esse ponto de mínimo? Como é que podemos saber? Sabemos que ele ocorre em 2, pois ele é simétrico. Então, o v(2) vai ser igual a 3 vezes 2², menos 12, vezes 2, mais 9. 3 vezes 2² vai dar 12, menos 12 vezes 2, dá 24, que vai dar -12, mais 9, vamos ter -3. Portanto esse ponto aqui é -3 e podemos assim desenhar a nossa parábola que identifica a velocidade. O caso é, queremos saber, quando a velocidade for positiva e a aceleração também. E quando a velocidade for negativa e a aceleração também. Nós sabemos que, neste gráfico, nós temos a velocidade negativa entre 1 e 3. Ou seja, a velocidade é menor do que zero para "t" entre 3 e 1, a nossa velocidade é negativa. Agora a aceleração, a aceleração é negativa quando a inclinação dela for negativa em relação à velocidade. Sabemos que a aceleração em relação ao tempo vai ser a derivada da velocidade em relação ao tempo. Que vai dar a nossa inclinação neste gráfico que é derivada segunda da posição em relação ao tempo. Portanto, nós temos que a aceleração é negativa neste ponto aqui. E, neste ponto aqui, que nos interessa, tanto a velocidade quanto a aceleração é negativa. Portanto, a aceleração é negativa entre 1 e 2, ou seja, entre 1 e 2, a aceleração é negativa. Temos aqui entre 1 e 2, a aceleração é negativa. A aceleração também é negativa entre zero e 1, mas não nos interessa onde queremos que a velocidade seja negativa e a aceleração também seja negativa. Ou seja, nós temos que a aceleração é negativa, e a velocidade é negativa para o instante entre 1 e 2. Este é para o nosso segundo caso. Este aqui sendo o nosso primeiro caso. A outra forma é quando a velocidade for positiva e aceleração também. Neste caso aqui, a velocidade é positiva e a aceleração também tem inclinação positiva. Ou seja, acima de 3, nós vamos ter velocidade maior do que zero e a aceleração maior do que zero também, para o tempo maior do que 3. Podemos verificar também da seguinte forma: a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Ora, nós temos a velocidade em relação ao tempo, então, a aceleração fica sendo a derivada, que é 6 vezes "t", menos 12. E realmente vamos verificar. Para a aceleração entre 1 e 2, nós temos 6 vezes 1, que dá 6, menos 12, vai dar um número negativo. Até 6 vezes 2, 12, menos 12, que daria zero, ou seja, entre 1 e 2, a aceleração realmente é negativa. Então, aqui está correto. Para um instante maior do que 3, nós vamos ter, obviamente, uma aceleração positiva. Então, temos uma aceleração positiva. Para um tempo maior do que 3, nós temos também a velocidade positiva. Portanto, a nossa solução é: a velocidade é negativa e aceleração é negativa para os instantes entre 1 e 2. E a velocidade é positiva e a aceleração também é positiva para o instante maior do que 3.