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Esboço de curva com cálculo: polinômio

Neste vídeo, esboçamos um gráfico de f(x)=3x⁴-4x³+2 incluindo pontos extremos e pontos de inflexão. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - Vamos tentar usar aqui tudo o que sabemos sobre derivadas, concavidades, pontos máximos e mínimos, pontos de inflexão, para desenhar em um gráfico uma função sem usar uma calculadora gráfica. Para começar a fazer isso, vamos admitir que a função f(x) seja igual a 3 vezes x⁴, menos 4 vezes x³, mais 2. E é claro que podemos esboçar o gráfico da função apenas variando os pontos. Mas queremos nos concentrar nos pontos que são interessantes. E é por isso que nós vamos pegar a forma geral da função e focar especificamente nas informações que podemos tirar dessa função utilizando o nosso kit de ferramentas de cálculo, o nosso kit de derivadas. A primeira coisa que nós temos que descobrir são os pontos críticos. Deixe-me escrever aqui. Nós queremos descobrir os pontos críticos. Para relembrar o que são pontos críticos: eles são os pontos onde a derivada de f(x) é igual a zero. Os pontos críticos são os pontos em que f'(x) é igual a zero, ou que são inexistentes. Bem, esta função aqui parece ser diferenciável em todos os pontos. Por esse motivo, os pontos críticos que nós temos que nos preocupar são basicamente os pontos em que f'(x) é igual a zero. Essa derivada f'(x) será, na verdade, definida em relação ao domínio. Vamos calcular a derivada dela, então. A derivada de 3x⁴ vai ser igual a 4 vezes 3 (e 4 vezes 3 = 12), vai ser 12 elevado a 4 - 1, que é igual a 3. Então, nós vamos ter 12x³. Agora, a derivada de 4x³ vai ser igual a 3 vezes 4, que também é igual a 12, vezes "x" elevado a 3 - 1, que é 2. E aqui nós temos uma constante. A derivada de uma constante é igual a zero. Afinal de contas, a inclinação da constante, você já deve saber que vale zero. Afinal, por definição, uma constante não está mudando. Isto seria f'(x). Vamos descobrir os pontos críticos, então. Os pontos críticos ocorrem quando isto for igual a zero ou inexistente. Observando bem essa função f'(x), nós podemos perceber que ela é definida em todo o domínio real. Eu poderia colocar qualquer número aqui, que não teríamos nenhum problema. Você vai me dar a resposta do que a função é. Então, isto é definido em todos os lugares. Por isso, vamos apenas descobrir onde f' é igual a zero. Vamos rescrever essa derivada f' aqui do lado. 12x³ - 12x² = 0. Nós temos que encontrar os pontos em que esta função f' seja igual a zero. E como nós podemos resolver isso? Se a gente observar aqui, podemos ver que o 12x² pode ser colocado em evidência. E aqui na primeira parte a gente vai ter apenas o "x", na segunda parte apenas o 1. Então, a função ficaria 12x² vezes (x - 1) = 0. Claro, eu decidi reescrever desta forma, mas você poderia utilizar outros caminhos que também daria certo. O motivo pelo qual eu fiz isso foi porque, para resolver para zero, ou se eu quero todos os "x" que fazem com que esta equação seja igual a zero, esta forma vai me ajudar a encontrar isso, já que eu estou multiplicando uma coisa por uma outra coisa. E, para que toda esta equação seja igual a zero, uma (ou ambas) deve ser igual a zero. Vamos tomar aqui o primeiro caso, em que 12x² seja igual a zero . Para que isto seja igual a zero, é necessário que o "x" seja igual a zero. A gente também poderia ter este outro termo sendo igual a zero. E para que (x - 1) seja igual a zero, é necessário que "x" seja igual a 1. Então, os dois pontos críticos desta função são: quando "x" é igual a zero e quando "x" é igual a 1. Lembre-se: esses são apenas os pontos onde a primeira derivada é igual a zero, onde a inclinação é igual a zero. Por esse motivo, estes pontos são pontos de máximos ou mínimos, ou também, pontos de inflexão. Enfim, não sabemos ainda disso. Sabemos apenas que eles são pontos críticos. Eu acho que isso é tudo que eu posso dizer neste momento: que eles são pontos interessantes que devem ser observados. Mas vamos continuar e tentar entender a concavidade para a gente, talvez, entender melhor esse gráfico. O que nós temos que fazer agora é encontrar a segunda derivada. Para encontrar a segunda derivada da função "f", basta derivar a função f'(x). Nós vamos ter f''. E f'' vai ser igual a 36x² - 24x. Agora que já encontramos a segunda derivada, podemos encontrar a concavidade. Ou seja, dentro de um intervalo, o gráfico será côncavo para cima ou côncavo para baixo? Vamos descobrir em qualquer um destes pontos críticos e tudo vai começar a se encaixar. Lembre-se: se é côncavo para cima, temos um gráfico com uma forma de U e, se é côncavo para baixo, temos uma espécie de U de cabeça para baixo. Lembrando que f'' é a segunda derivada e, para determinar essa concavidade, nós precisamos encontrar os pontos "x" em que essa segunda derivada seja igual a zero. Nos pontos em que a segunda derivada for igual a zero, a gente tem pontos de transição entre as concavidades. Vamos encontrar agora a segunda derivada nesses pontos críticos. Inicialmente, a segunda derivada para "x" sendo igual a zero, a gente vai ter algo igual a zero. Então, f'' vai ser igual a zero. E aqui neste ponto a gente não tem nada nem côncavo para cima, nem côncavo para baixo. Isto, então, pode ser um ponto de transição, ou não. Se for um ponto de transição, pode ser um ponto de inflexão, mas ainda não temos certeza a respeito disso. Agora vamos calcular f'' para o "x" sendo igual a 1. Isto vai ser 36 - 24, e 36 - 24 é igual a 12. E o valor é positivo. A segunda derivada é positiva quando "x" é igual a 1. E o que isso significa? Significa que a inclinação está aumentando. A taxa de alteração na inclinação é positiva. Então, neste ponto, temos uma concavidade voltada para cima. Isso sugere que este ponto x = 1 seja, provavelmente, um ponto de mínimo. A inclinação é zero aqui, mas temos uma concavidade para cima neste ponto. Isso é algo muito interessante. Vamos ver se por aqui tem um potencial ponto de inflexão. Já sabemos que este é um potencial ponto de inflexão. Não sabemos se a função realmente tem um ponto de transição neste ponto, vamos ter que experimentar um pouco para ver se isso realmente é o caso. Mas, aproveitando, vamos ver se existem outros pontos de inflexão ou potenciais pontos de inflexão. Para determinar isso, a gente precisa saber quais os pontos em que esta segunda derivada é igual a zero. Para fazer isso, vamos colocar aqui: 36x² - 24x = 0. E vamos resolver para "x", vamos fatorar também, igual a gente fez anteriormente. Podemos colocar em evidência o 12x. Assim, vamos ter 12x vezes (3x + 2) = 0. Toda vez que a gente faz isso, para esta função ser igual a zero, um dos dois termos aqui tem que ser igual a zero. Primeiramente, a gente vai fazer 12x = 0. Para que 12x seja igual a zero, é necessário que o "x" seja igual a zero. Por outro lado, a gente pode ter 3x - 2 sendo igual a zero. E para que 3x - 2 seja igual a zero, é necessário que 3x seja igual a 2. E para que 3x seja igual a 2, é necessário que "x" seja igual a 2/3. Nós já encontramos um ponto interessante antes, que foi o x = 0, um ponto a ser observado. E este aqui é um outro ponto que tem que ser observado, quando "x" é igual a 2/3, que provavelmente deve ser um ponto de inflexão. E a razão disso é porque a segunda derivada é definitivamente zero neste ponto. Se a gente colocar 2/3 aqui, teremos algo igual a zero. E o que nós temos que fazer agora é ver se a segunda derivada é positiva ou negativa em cada lado de 2/3. E a gente já pode ter uma ideia disso. Para fazer isso, a gente pode tentar alguns números. Vamos tentar para um "x" maior que 2/3. Vamos ver o que acontece com a segunda derivada quando "x" for maior 2/3. Qual vai ser a segunda derivada neste caso? Vamos tentar um valor que seja algo muito próximo, apenas para você ter uma ideia das coisas. Vou reescrever f'' aqui. f''(x) vai ser igual a 12x vezes (3x - 2). Se "x" for maior que 2/3, este termo é positivo. Isso é algo que definitivamente não resta dúvida. Mas e este outro termo aqui? 3 vezes 2/3 de -2 é exatamente igual a zero. Afinal, a gente vai ter 2 - 2, que é igual a zero. Mas qualquer coisa maior do que este "3 vezes", qualquer coisa, por exemplo, se no lugar do "x" eu tivesse 2,1 dividido por 3. 2,1/3 já é um valor maior que 2/3. Definitivamente, isto seria um valor positivo. Então, este termo também vai ser positivo. O que isso significa? Isso significa que, quando "x" é maior que 2/3, a segunda derivada vai ser positiva. Ou seja, isso vai ser maior que zero. Assim, observando todo o domínio, quando "x" é maior que 2/3, terços teremos uma função com a concavidade voltada para cima. E nós podemos ver isso aqui, no x = 1. Temos uma concavidade voltada para cima. Mas agora, e quando "x" é menor que 2/3? Vou reescrever novamente f''(x). f''(x) = 12x vezes (3x - 2). Se a gente for para a esquerda, a gente vai ter um número negativo. Isso deve ser negativo. Mas, se formos logo antes de 2/3, onde ainda estamos no campo do positivo, o que vai acontecer? Se a gente colocar aqui 1,9/3, que é uma mistura de decimal e uma fração, ou mesmo 1/3, ainda teremos um valor positivo. Logo abaixo de 2/3, isso ainda vai ser positivo, afinal, estaremos multiplicando 12 por um número positivo. Mas o que acontece aqui deste lado? No 2/3, temos exatamente zero. Mas, conforme vamos para qualquer coisa menor que 2/3, 3 vezes 1/3, por exemplo, é apenas 1. E 1 - 2 será um valor negativo. Então, quando "x" é menor que 2/3, vamos ter um valor negativo. Ou seja, a segunda derivada, quando "x" é menor que 2/3, teremos um valor menor que zero, uma segunda derivada de "x" menor que zero. Agora, olhe que legal, observe bem o ponto 2/3: quando a gente observa à esquerda do 2/3 e a gente tem uma segunda derivada negativa, e quando a gente observa à direita de 2/3 e nós temos uma segunda derivada positiva, nós temos, aqui neste ponto, um ponto de inflexão. Então, x = 2/3 é definitivamente um ponto de inflexão para a função original lá em cima. Só que a gente ainda tem um outro candidato a ponto de inflexão para poder representar graficamente esta função. Afinal, depois que a gente consegue avaliar os pontos de inflexão de máximo e mínimo, podemos representar graficamente a função. Então, vamos ver agora se esse ponto x = 0 é, de fato, um ponto de inflexão. Sabemos que a segunda derivada em x = 0 é igual a zero. Mas o que acontece com a segunda derivada antes do zero e depois do zero? Podemos testar isso aqui também. Vou desenhar uma linha para que você não se confunda com todas as coisas que eu escrevi aqui. Quando "x" é maior do que zero, o que está acontecendo com a segunda derivada? Lembre-se: a segunda derivada é igual a 12x vezes (3x - 2). Eu gosto de escrever desta forma porque aí a gente pode decompor em duas expressões lineares e poder ver cada um deles, se é positivo ou negativo. Então, vamos observar um número depois do zero, um número acima de zero, um número que seja algo bem próximo de zero. Vamos supor que seja 0,1. Nós teríamos 12 vezes um número positivo, que seria positivo, e aqui nós teríamos 3 vezes 0,1 (que seria 0,3) menos 2, que seria um número negativo. Olha só: a primeira parte (12x), qualquer número acima de zero vai ser positivo. Agora, com 3x - 2, nem sempre isso vai acontecer, já que, se a gente tiver 0,1 que, apesar de ser um número positivo, é um número muito próximo de zero e toda esta expressão aqui será negativa. Assim, em "x" maior que zero, a segunda derivada vai ser inferior a zero. E assim, teremos uma concavidade para baixo. O que faz todo o sentido porque, em algum momento, vamos encontrar uma transição. Lembre-se que temos uma concavidade para baixo antes de chegar a 2/3. Portanto, isto é algo bem consistente com o que a gente fez antes. De zero a 2/3, teremos uma concavidade voltada para baixo. Depois de 2/3, teremos uma concavidade voltada para cima. Agora vamos ver o que acontece quando "x" é apenas um pouco menor do que zero. Mais uma vez, a gente coloca aqui f'', a segunda derivada de "x", que é igual a 2x vezes (3x - 2). Se "x" for 0,1 negativo ou 0,0001 negativo, isso não vai importar, na verdade, porque, de qualquer forma, a gente vai ter um valor negativo nesta expressão. Você vai ter 12x, que só vai ter resultado negativo caso "x" seja abaixo de zero, vezes esta outra expressão aqui. Vamos ver o que acontece. Se a gente tem 3 vezes 0,1 negativo, será -0,3. -0,3 - 2 = -2,3, que definitivamente será um valor negativo. Aqui será negativo e aqui, quando se subtrai de um negativo, também teremos um negativo. Agora, multiplicando um negativo por um negativo, teremos um valor positivo. Então, na verdade, quando a gente tem "x" abaixo de zero, ou seja, "x" sendo negativo, a segunda derivada será positiva. Eu sei que isso parece ser um pouco confuso, mas é só agora que a gente tem a recompensa de todo esse trabalho. Temos todas as coisas interessantes acontecendo. Sabemos que em x = 1... Vou escrever isso aqui embaixo. Quando x = 1, nós já descobrimos que em x = 1 a inclinação é zero. Inclinação igual a zero. Isso porque a primeira derivada é igual a zero. E este aqui era um ponto crítico. E também estamos lidando com a ideia de concavidade aqui em cima. Assim, este será um ponto de mínimo. E vamos usar até as coordenadas para representar isso graficamente. Esse é o objetivo deste vídeo. Então, f(1) será igual a o quê? Vamos voltar aqui para ver a função original. Nós vamos ter 3 vezes 1⁴, que é apenas 1. Então, a gente vai ter nesta primeira parte: 3 vezes 1, menos 4 quatro vezes 1³, que é 1, e 4 vezes 1 é 4. Então, a gente vai ter 3 - 4 + 2, que é igual a 1. A função, quando x = 1, vai ser igual a 1. Agora também temos um outro ponto aqui: quando x = 0, em que descobrimos que a inclinação nesse ponto também é igual a zero. Mas descobrimos também que este aqui é um ponto de inflexão: a concavidade muda imediatamente antes e imediatamente depois. Por isso que este é um ponto de inflexão. Quando "x" é negativo, nós temos uma concavidade voltada para cima e quando "x" é maior que zero, positivo, nós temos uma concavidade voltada para baixo. Um pouquinho acima do x = 0, não é em todo o domíno. Agora podemos encontrar a coordenada, também, substituindo esse valor na função original. Só assim que nós poderemos representar essa função graficamente. f(x = 0) é muito fácil. A gente vai ter (3 vezes 0) - (4 vezes 0) + 2. Isso vai ser igual a 2. Então, f(0) = 2. Finalmente, temos o ponto em que x = 2/3. Deixe-me fazer isso com uma outra cor. Temos "x" sendo igual a 2/3 e também descobrimos que este é um ponto de inflexão. A inclinação definitivamente não é zero neste ponto, porque não era um dos pontos críticos. Lembrando que, quando "x" é menor que 2/3, a gente tinha uma segunda derivada negativa, portanto, a concavidade é voltada para baixo. E quando "x" é maior que 2/3, nós temos uma segunda derivada positiva. Logo, a concavidade é voltada para cima. Agora poderíamos descobrir o que é a função quando x = 2/3. Isso é um pouco complicado, e não é necessário fazer isso agora. Podemos fazer uma boa representação apenas com que a gente já tem em mãos. Vamos fazer um recorte aqui, deixe-me fazer um gráfico aqui agora. Vai ser um gráfico meio tosco, mas eu acho que dá para representar. Bem, nós temos que fazer os eixos e queremos representar graficamente o ponto (0, 2). x = 0 e y = 2, ou a função de "x" igual a 2. E aí podemos dizer que esse ponto (0, 2) está bem aqui. Portanto, este é x = 0 e, subindo 1 e 2, temos o ponto aqui. Portanto, este é o ponto (0, 2). Agora nós temos o ponto em que x = 1. E f(1) vai ser 1. Então, o ponto vai ser (1, 1) que é este ponto aqui. Agora nós temos o outro ponto, que é x = 2/3, que é o ponto de inflexão. Assim, quando x = 2/3 (que não localizamos exatamente o número "f" de 2/3, talvez seja algo por aqui). Digamos que f(2/3) seja algo mais ou menos por aqui. Este é o ponto em que x = 2/3. Você pode calcular isso substituindo x = 2/3 lá na função. Mas estamos apenas queremos representar graficamente, então, basta colocar um valor aproximado. Sabemos que, em x = 1, a inclinação é zero. Então, temos algo plano. Sabemos que a concavidade é voltada para cima. Então, parece que, durante este intervalo, temos uma concavidade para cima. Mas a concavidade é para cima a partir de que ponto? A partir de x = 2/3. Sabemos que "x", a partir de 2/3, teremos uma concavidade voltada para cima. É por isso que eu sou capaz de desenhar isto em forma de U. Sabemos também que, quando "x" é menor que 2/3 e maior que zero, temos uma concavidade voltada para baixo. Então, o gráfico teria algo parecido com isto ao longo desse intervalo. Uma concavidade para baixo, bem aqui, durante esse intervalo a inclinação diminui (e você poderia ver isso desenhando as linhas tangentes em cada um desses pontos) e aí você vai ver que ela vai ficando cada vez mais negativa, mais negativa, mais negativa, até este ponto de inflexão, que então vai começar a aumentar, porque aí temos uma concavidade voltada para cima. E finalmente, o último intervalo, que é valores de "x" menores que zero, em que teremos uma concavidade voltada para cima. Então, o gráfico vai se parecer com isto aqui. O gráfico vai ter esta aparência. Também sabemos que em x = 0, que era um ponto crítico, a inclinação vai ser igual a zero. Assim, teremos um gráfico plano naquele ponto, já que x = 0 é um ponto de inflexão com a inclinação sendo igual a zero. Bem, isto é o esboço do gráfico final. Estamos prontos agora. Depois de todo esse trabalho, já sabemos usar a habilidade de cálculo e conhecimentos de pontos de inflexão, de transição e concavidade para representar uma função graficamente. Provavelmente, isto vai ser algo que vai aparecer quando você utilizar sua calculadora gráfica.