Introdução ao comprimento do arco

RKA10MP – Vimos em outros vídeos como pegar a área sob uma curva através da integral. Nossa preocupação neste vídeo é saber o comprimento deste arco. Podemos pegar o comprimento infinitesimal, uma pequena parte deste arco. Esta pequena parte vamos chamar de ds. E, obviamente, de um ponto até outro, vamos chamar de “a” até o ponto “b”, podemos somar vários comprimentos ds até que consigamos o arco completo. Ou seja, não queremos saber a distância deste ponto “a” para o ponto “b”, mas queremos saber o comprimento deste arco. E como é que podemos fazer isso? Uma maneira seria você pegar e fazer a integral deste ponto ds, mas isso não me diz muita coisa porque está em função de ds e não em função de “x” nem em função de “y”. Como a gente está pegando uma pequena parte, vamos aumentar para ficar mais claro e pegar uma parte maior, e pegamos uma variação no eixo “x” e uma variação no eixo “y”, ou seja, uma pequena variação no eixo “x” e uma pequena variação no eixo “y”. Então podemos escrever através de Pitágoras como sendo a integral da raiz quadrada de (dx)² mais (dy)², e isso vai nos dar exatamente o ds. E agora como podemos colocar isso em função da função que conhecemos? Podemos colocar o dx em evidência e ficamos com (dx)² vezes (1 + (dy/dx)²). Isso daqui, se você abrir, vai voltar a ter (dx)² + (dy)². Este (dx)² podemos tirar do radical e temos nossa integral. Temos a integral da raiz quadrada de 1 mais (dy/dx)² dx. E agora podemos integrar, e sabendo nossa função, derivamos esta função, elevamos ao quadrado, temos a nossa fórmula geral e podemos ir de “a” até “b”. Podemos escrever de outra maneira, podemos escrever de “A” até “B”, da raiz quadrada de 1 mais a derivada de f em relação a "x", ao quadrado, dx. Esta não é uma prova rigorosa, mas é a maneira que calculamos o arco de “a” até “b”, e quando sabemos nossa função f(x), derivamos a função, elevamos ao quadrado e pela raiz quadrada na integração definida de “a” até “b” dx, podemos achar o tamanho deste arco completamente.