Área composta entre curvas

RKA4JL - O que eu quero fazer neste vídeo é achar a área dessa região que estou pintando de amarelo. O que pode parecer difícil é que através dessa região eu tenho esta função inferior. Eu suponho que o limite inferior é y igual a (x² sobre 4) menos 1, mas eu tenho limite superior diferente e a forma como podemos resolver isso é dividindo essa área em duas seções, ou dividindo essa região em duas regiões. Nós temos a região da esquerda e a região da direita. Então nessa primeira região vou colorir um pouco mais forte de amarelo para todo o intervalo de x e parece que x se estende entre zero e 1, porque quando x é igual a 1, essa função aqui é igual a 1 e quando x é igual a 1, essa função também é igual a 1. Esse é o ponto (1,1), é onde ela se interceptam. Então para essa seção, essa sub-região bem aqui, y é igual à raiz quadrada de x, é a função superior o tempo todo. Então para essa área aqui ao lado nós podemos resolver calculado separadamente a área dessa região, de x igual a 1 até x igual a 2, onde y é igual a 2 menos x e isso aqui é a função superior. Então vamos primeiro considerar essa primeira região, que vai ser a integral definida de x igual a zero até x igual a 1. Nossa função superior é raiz quadrada de x e então podemos subtrair nossa função inferior, que é a raiz quadrada de x menos (x² sobre 4) menos 1. Então vamos escrever aqui. E é claro, também temos o nosso dx. Então isso bem aqui está descrevendo a área amarela e você pode imaginar que essa parte bem aqui, a diferença entre essas duas funções, está essencialmente descrevendo esta altura. Deixe-me trocar a cor. Então, essencialmente, é essa altura aqui e quando multiplica por dx, você obtém um pequeno retângulo de largura dx e quando você faz isso para cada x, para cada x você obtém um retângulo diferente, então você soma todos eles e toma o limite quando a sua mudança em x se aproxima de zero. Você obtém retângulos ultra estreitos. Você tem um número infinito deles. Essa é a definição da integral de Riemann, ou do que é uma integral definida. Então essa é a área da região à esquerda, e usando a mesma lógica podemos calcular a área da região à direita. Então a região direita, como vemos aqui, na região direita nós vamos de x igual a 1 para x igual a 2. Deixe-me escrever aqui 1 e 2. Então a função superior é 2 menos x e assim nós vamos subtrair a função inferior, que é (x² sobre 4) menos 1. Então vamos escrever aqui. Agora nós temos apenas que calcular, então primeiro vamos simplificar isso aqui. Isso vai ser igual à integral definida de zero a 1 da raiz quadrada de x menos (x² sobre 4) mais 1 dx (deixe-me escrever apenas de uma cor) mais a integral definida de 1 a 2 de 2 menos x menos (x² sobre 4). Então subtraindo o -1 resulta em 3 positivo, ou seja, 1 positivo que podemos somar com 2 e isso resulta em 3. E ainda temos o nosso dx. Agora temos apenas que tomar a anti derivada e calculá-la em 1 e zero. A anti derivada disso é... Isso daqui é x elevado a ½ e somado com 1, somado a potência de 1 temos x elevado a (3/2). Então multiplicando pelo inverso do novo expoente, que é 2/3, vezes x elevado a 3/2 menos... A antiderivada de (x² sobre 4) é x³, dividido por 3 dividido por 4, que é dividido por 12, mais x, que é a antiderivada de 1. Nós vamos calcular isso em 1 e zero. E assim a antiderivada aqui vai ser 3x menos (x²/2) menos (x³/12). Mais uma vez calcule isso, ou melhor, agora vamos calcular em 2 e 1. Aqui você calcula tudo isso em um, então você obtém (2/3) menos (1/12) mais 1. Então você subtrai isso calculando em zero, mas tudo isso é apenas zero, então você não tem nada. Isso é o que a parte amarela resultou. Aqui nessa segunda parte, nessa parte roxa, primeiro você a calcula em 2, então você obtém 6 menos... Vamos ver, 2² sobre 2 é 2, menos 8/12, então você vai subtrair isso daqui calculado em 1. Será 3 vezes 1, que é 3, menos ½ menos 1/12. Basicamente, agora ficamos com a soma de uma porção de frações, então vamos fazer isso. 12 parece ser o denominador comum mais evidente, então aqui você vai ter 8/12 menos 1/12 mais 12/12 e isso vai resultar em 19/12, a parte que temos em amarelo. E nessa segunda parte (deixe-me mudar a caneta) temos 6 menos 2, isso vai ser 4, podemos escrever isso como 48/12, que é 4, menos 8/12 e assim você vai ter que subtrair 3, que é 36/12. Então vamos somar ½, que é 6/12, e você vai somar 1/12 e tudo isso pode ser simplificado para 48 menos 8 é 40, menos 36 é 4, mais 6 é 10, mais 1 é 11. Então nós temos aqui mais 11/12. Deixe-me conferir se fiz tudo certo. 48 menos 8 é 40, menos 36 é 4, 10 e 11. Parece certo. Estamos prontos para somar essas duas coisas. 19 mais 11 é igual a 30/12, ou se quiser simplificar um pouco, podemos dividir o numerador e o denominador por 6. Então isso é igual a 5/2, ou 2 ½. E terminamos. Calculamos a área de toda essa região. Ela é igual a 2 ½.