Teorema do valor médio para integrais

RKA3JV - Temos muitos vídeos sobre o teorema do valor médio. Mas, eu vou revisar isso um pouco para que possamos ver como isso se conecta com o teorema do valor médio que aprendemos em cálculo diferencial. Como se conecta com o que aprendemos sobre o valor médio de uma função usando integrais definidas. O teorema do valor médio nos diz que se eu tenho uma função "f" que é contínua no intervalo fechado, então, está incluindo os pontos finais de "a" para "b" e é diferenciável, de modo que, a derivada é definida no intervalo aberto de "a" para "b", então, não necessariamente, precisa estar definida a diferenciável nos limites, desde que seja diferenciável entre os limites. Então, nós sabemos que existe algum valor ou algum número, um número "c", tal que este "c" vai estar entre os dois pontos finais do nosso intervalo. Então, "a < c < b". Então, "c" está, portanto, dentro deste intervalo. E eu acho que essa é a parte mais importante. A parte mais importante é que a derivada da nossa função naquele ponto é igual, essencialmente, à taxa média da variação sobre o intervalo. Ou você pode pensar nisso como a inclinação entre os dois pontos finais. Inclinação entre os dois pontos finais, será a variação em "y", que será a variação do valor da sua função. Então, será f(b) menos f(a) sobre "b" menos "a". Nós vimos isso, em muito mais detalhes, quando cobrimos o cálculo diferencial. Mas só para te dar um pouco de visualização sobre isso, eu vou fazer uns desenhos aqui, uns gráficos, porque eu acho que isso pode ser útil. Então, vamos lá! Aqui, temos um plano, aqui temos o "a" e aqui temos o "b". Então, temos aqui a nossa função. Isto aqui é f(a), isto aqui é f(b). E esta daqui, então, é a diferença de f(b) - f(a), sobre o que seria a diferença de "b" menos "a", que é esta aqui. Então, f(b) - f(a) / b - a. Isto aqui, graficamente, vai nos dar a inclinação, esta inclinação que passa bem aqui. Então, isso aqui vai ligar os dois pontos. E o teorema do valor médio vai nos dizer que existe algum ponto aqui onde a inclinação será a mesma. Algum ponto "c" onde a inclinação será a mesma. Então, há pelo menos um "c" onde a inclinação da linha tangente é a mesma que a inclinação média através do intervalo. E, mais uma vez, temos que assumir que "f" é contínua e diferenciável Agora, quando você vir isto, isso talvez possa despertar algumas semelhanças com o que vimos quando estudamos ou quando nós definimos, acho que podemos dizer isso, a fórmula para o valor médio de uma função. O que vimos para o valor médio da função, nós dissemos que o valor médio da função vai ser igual a 1 sobre "b" menos "a", vezes a integral definida de "a" até "b" de f(x) dx. Bom, isso é interessante, porque aqui temos uma derivada e aqui temos uma integral e talvez possamos ligá-las, talvez possamos conectar estas duas coisas. Uma coisa que eu posso dizer para você é que talvez nós possamos reescrever, nós possamos reescrever este numerador aqui de alguma maneira. Então, eu o encorajo a pausar o vídeo e ver se você pode resolver isto sozinho. Mas, antes, eu vou te dar uma grande dica! Em vez de ser um f(x) aqui, o que acontece se houver um f'(x)? Então, pode tentar. Então, vamos lá! Isto aqui vai ser igual à integral definida de "a" até "b" de f'(x) dx. Pense nisso, você tomar a antiderivada de f'(x), que será f(x) e você vai calcular em "b", f(b). E, depois disso, você irá subtrair pelo calculado em "a". Menos f(a). Estas duas coisas aqui são idênticas. Então, você pode, é claro, dividir isso por "b" menos "a". Então, você pode dividir isso por (b - a). Agora, isso está começando a ficar interessante. Uma maneira de pensar sobre isso é que deve haver um "c", que quando você calcula a derivada em "c", ela admite o valor médio da derivada. Outra maneira de pensar sobre isso, se fôssemos apenas escrever g(x) = f'(x), então, chegaríamos muito perto do que temos aqui, porque isso aqui será g(c). Lembre-se é f'(c) é a mesma coisa que g(c), é igual a 1 / b - a. Então, existe um "c" onde g(c) é igual a 1 sobre "b" menos "a", vezes a integral definida de "a" até "b" de g(x) dx. E f'(x) é a mesma coisa que g(x). Então, esta aqui é uma outra maneira de pensar nisto. É uma outra forma do teorema do valor médio. E nós podemos chamar de teorema do valor médio para integrais. Bom, e para dar um sentido um pouco mais formal, vamos aqui um pouco para baixo. Então, você tem uma função g(x), que é contínua neste intervalo fechado, indo de "a" até "b". Então, existe um "c" neste intervalo onde g(c) é igual, o que é isto aqui? Isto aqui é o valor médio da função. Então, existe um "c". Então, existe um "c" neste intervalo onde g(c) é igual ao valor médio da função, sobre a integral. Esta foi a nossa definição do valor médio de uma função. Isso é apenas outra maneira de dizer que você pode ver alguns teoremas de valor médio. E apenas para lhe mostrar que estão inteiramente ligadas, estão usando notações diferentes. Mas, são essencialmente as mesmas ideias do teorema do valor médio que você aprendeu no cálculo diferencial. Mas, agora, com notação diferente. Eu acho que ainda pode ter uma interpretação diferente, estávamos pensando sobre isso em cálculo diferencial. Estávamos pensando em ter um ponto onde a inclinação da linha tangente da função naquele ponto é a mesma que a taxa média. Então, quando estávamos no modo diferencial, pensávamos em termos de inclinações das linhas tangentes. Agora, que estamos no modo integral, pensamos mais em termos de valor médio, valor médio da função. Portanto, há algum "c" onde g(c), onde a função calculada neste ponto é igual ao valor médio. Então, uma outra maneira de pensar sobre isso, se eu fosse desenhar um gráfico, se eu fosse desenhar um gráfico, Então, isto aqui é "y", isto aqui é "x", isto aqui é a minha função "y = g(x)", que, na verdade, é a mesma coisa que a f'(x). Nós apenas reescrevemos agora para ser mais consistente com a nossa fórmula de valor médio. Bom, nós estamos falando sobre o intervalo de "a" até "b". E nós já vimos como calcular o valor médio, nós já vimos como calcular isso. Então, o valor médio talvez esteja aqui, este é o "g" médio. Então, nosso valor médio é isso. E o teorema do valor médio para integrais nos diz que há algum ponto onde a nossa função deve assumir este valor em "c", considerando que "c" está dentro deste intervalo.