O volume do sólido pode ser calculado usando o método das cascas. Vamos começar traçando o gráfico da região delimitada com uma casca cilíndrica representativa.

Quando usamos cascas e um eixo vertical de revolução, o volume do sólido de revolução no intervalo

[a, b]

‍ pode ser expresso como

V = \int_{a}^{b} 2 π r h d x

‍

onde

r

‍ é o raio de rotação e

h

‍ é a altura da casca.

Configurando a integral

Podemos ver na imagem que o raio do cilindro é

r = x

‍ e a altura do cilindro é

h = 3 x - x^{2}

‍.

Um número infinito de cilindros será criado entre

x = 0

‍ e

x = 3

‍.

O volume do sólido pode ser expresso como:

V = \int_{0}^{3} 2 π x (3 x - x^{2}) d x

‍

Resolução da integral

\begin{aligned} V & = \int_{0}^{3} 2 π x (3 x - x^{2}) d x \\ = 2 π \int_{0}^{3} (3 x^{2} - x^{3}) d x \\ = 2 π {[x^{3} - \frac{1}{4} x^{4}]}_{0}^{3} \\ = 2 π (27 - \frac{81}{4}) \\ = \frac{27 π}{2} \end{aligned}

‍

Resposta

O volume do sólido é de

\frac{27 π}{2}

‍ unidades cúbicas.

Problema 2

Uma região é delimitada pelo eixo

x

‍ e a curva

y = 1 - x^{2}

‍.

**Qual é o volume do sólido gerado quando essa região é rotacionada em torno da reta $x = 1$ ‍?

Escolha 1 resposta:

(Escolha A)
$\frac{5 π}{6}$ ‍
(Escolha B)
$\frac{8 π}{3}$ ‍
(Escolha C)
$\frac{π}{2}$ ‍
(Escolha D)
Nenhuma das anteriores

Método das cascas

O volume do sólido pode ser calculado usando o método das cascas. Vamos começar traçando o gráfico da região delimitada, o eixo de rotação, e uma casca cilíndrica representativa.

Quando usamos cascas e um eixo vertical de revolução, o volume do sólido de revolução no intervalo

[a, b]

‍ pode ser expresso como

V = \int_{a}^{b} 2 π r h d x

‍

onde

r

‍ é o raio de rotação e

h

‍ é a altura da casca.

Configurando a integral

Neste problema, estamos rotacionando a região ao redor da reta

x = 1

‍. Isso significa que o raio do cilindro será

r = 1 - x

‍. A altura do cilindro é

h = 1 - x^{2}

‍.

Será criado um número infinito de cilindros entre

x = 0

‍ e

x = 3

‍.

O volume do sólido pode ser expresso como:

V = \int_{- 1}^{1} 2 π (1 - x) (1 - x^{2}) d x

‍

Resolução da integral

\begin{aligned} V & = \int_{- 1}^{1} 2 π (1 - x) (1 - x^{2}) d x \\ = 2 π \int_{- 1}^{1} (1 - x - x^{2} + x^{3}) d x \\ = 2 π {[x - \frac{1}{2} x^{2} - \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{4} x^{4}]}_{- 1}^{1} \\ = 2 π (1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{3} + \frac{1}{4} - (- 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4})) \\ = 2 π (2 - \frac{2}{3}) \\ = \frac{8 π}{3} \end{aligned}

‍

Resposta

O volume do sólido é de

\frac{8 π}{3}

‍ unidades cúbicas.

Problema 3

Uma região é delimitada pela reta

y = x

‍ e a parábola

x = (y - 2)^{2}

‍.

Qual é o volume do sólido gerado quando essa região é rotacionada em torno do eixo $x$ ‍?

Escolha 1 resposta:

(Escolha A)
$\frac{32 π}{3}$ ‍
(Escolha B)
$\frac{45 π}{2}$ ‍
(Escolha C)
$\frac{64 π}{3}$ ‍
(Escolha D)
Nenhuma das anteriores

Método das cascas

O volume do sólido pode ser calculado usando o método das cascas. Vamos começar traçando o gráfico da região delimitada e uma casca cilíndrica representativa..

Lembre-se, esta região é rotacionada em torno do eixo

x

‍!

Quando usamos cascas e um eixo horizontal de revolução, o volume do sólido de revolução no intervalo

[a, b]

‍ pode ser expresso como

V = \int_{a}^{b} 2 π r h d y

‍

onde

r

‍ é o raio de rotação e

h

‍ é a altura da casca.

Observe que aqui integraremos em relação a

y

‍. Isto significa que todos os nossos componentes também devem estar em função de

y

‍.

Configurando a integral

Neste problema, temos um cilindro horizontal. O raio do cilindro é de

r = y

‍, e a altura do cilindro é de

h = y - (y - 2)^{2}

‍.

Será criado um número infinito de cilindros entre

y = 1

‍ e

y = 4

‍.

O volume do sólido pode ser expresso como:

V = \int_{1}^{4} 2 π (y) (y - (y - 2)^{2}) d y

‍

Resolução da integral

\begin{aligned} V & = \int_{1}^{4} 2 π (y) (y - (y - 2)^{2}) d y \\ = 2 π \int_{1}^{4} y (y - (y^{2} - 4 y + 4)) d y \\ = 2 π \int_{1}^{4} y (5 y - y^{2} - 4) d y \\ = 2 π \int_{1}^{4} (5 y^{2} - y^{3} - 4 y) d y \\ = 2 π {[\frac{5}{3} y^{3} - \frac{1}{4} y^{4} - 2 y^{2}]}_{1}^{4} \\ = 2 π (\frac{320}{3} - 64 - 32 - (\frac{5}{3} - \frac{1}{4} - 2)) \\ = 2 π (\frac{45}{4}) \\ = \frac{45 π}{2} \end{aligned}

‍

Resposta

O volume do sólido é de

\frac{45 π}{2}

‍ unidades cúbicas.

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