Cálculo de integral com o método das cascas

RKA2G - No último vídeo fomos capazes de estabelecer integral definida utilizando o método da concha, ou do cilindro oco, visando descobrir o volume desses sólidos de revolução. Agora, vamos calcular esta coisa. Na realidade, o principal que temos que fazer é multiplicar o que temos aqui. Então, multiplique esta expressão. Isto será igual a... Vou tirar 2π para fora da integral. 2π vezes a integral de zero a 1. Vamos ver. 2 vezes a raiz quadrada de "x" é 2. Vou escrever isso como 2x elevado a 1/2. Isso simplificará o cálculo. 2 vezes a raiz quadrada de "x" é 2x elevado a 1/2. 2 vezes menos raiz de "x" é igual a -2 raiz de "x". Temos -x vezes raiz quadrada de "x". Isso é x¹ vezes "x" elevado a 1/2. Será -x elevado a 3/2. Então, temos -x vezes menos raiz de "x". Isto será mais x³, tudo isso vezes dx. Agora estamos prontos para calcular a primitiva. Isso será igual a 2π vezes a primitiva de tudo isto, calculado em 1 e zero. Então, a primitiva de 2 vezes "x" elevado a 1/2 será... Vamos ver, temos que calcular "x" elevado a 3/2 vezes 2/3. Isso será 4/3x elevado a 3/2. Para este termo, será -2/3x elevado a 3. Você poderia calcular a derivada aqui para verificar que realmente tem isso. Então, bem aqui, se nós incrementamos isso, você terá "x" elevado a 5/2. Vamos querer multiplicar por 2/5. Então... Deixe-me fazer isso de outra cor. Vamos ver. Este será -2/5x elevado a 5/2. Sim, isso funciona. Finalmente, você terá "x" elevado a 4, sobre 4. Mas vou fazer isso de outra cor. Mais "x" elevado a 4, sobre 4, que é este termo bem aqui. Agora, só temos que calcular em 1 e em zero. Em zero, felizmente, todos os termos acabam sendo zero. Então, tudo se cancela. Estes termos se cancelam e se tornam zero. Temos somente 2π vezes o resultado de tudo isso, calculado em 1. Isto será 4/3 - 2/3 - 2/5 + 1/4. O mínimo múltiplo comum aqui parece ser 60. Então, vamos colocar tudo isso sobre um denominador de 60. Vai ser 2π vezes tudo isto sobre um denominador de 60. 4/3 é o mesmo que 80/60. 2/3 é o mesmo que 40/60. 2/5 é o mesmo que 24/60. E 1/4 é o mesmo que 15/60. E isto é igual a... Na realidade, isto vai ser cancelado e você terá somente 30 no denominador. No denominador, você terá 30. Aqui em cima, 80 - 40 = 40. 40 - 24 = 16. 16 + 15 = 31. Então, temos 31π sobre 30 para o volume desta figura aqui em cima.