Exemplo de cálculo de integral pelo método das cascas

[RKA20C] Nós paramos, no último vídeo, montando a integral definida usando o método das cascas para este estranho sólido de revolução. Agora, vamos calcular a integral. Como já vimos, neste tipo de problema, só temos que fazer algumas multiplicações polinomiais aqui. Então, (x - 3)²... Bem, essa é bem direta. Vai ser x² - 6x + 9. E vamos multiplicar isso por x - 1. Vamos fazer primeiro, multiplicar isso por x - 1: -1 vezes 9 = -9, -1 vezes -6 = +6x, -1 vezes x² = -x². x vezes 9 = 9x, x vezes -6x = -6x² e x vezes x² = x³. Então, temos: x³ - 7x² + 15x - 9. Então, multiplicamos x - 3 vezes x - 1, e depois multiplicamos por x. Então, poderíamos apenas aumentar o grau de cada uma aqui. A nossa integral original foi simplificada para... Agora fica mais fácil de pegar a antiderivada. É igual a 2π vezes a integral definida de 1 a 3 disto aqui vezes x. Então, vai ser x⁴ - 7³ + 15x² - 9x. Claro, vezes dx. Vou deixar o dx nessa mesma cor azul. Agora, vamos pegar a antiderivada. Vai ser igual a 2π vezes a antiderivada disto tudo aqui. Vamos calculá-la quando x = 3, e subtrair quando x = 1. Então, a antiderivada de x⁴ é x⁵/5. A antiderivada de x³ é x⁴/4, e vamos multiplicar isso por -7, então, é -7x⁴/4. Depois, a antiderivada de 15x² vai ser 15x³/3. 15/3 = 5. Então, vai ser 5x³. E, finalmente, a antiderivada de -9x, que vai ser -9x²/2. Podemos checar: se você pegar a derivada disso, vai achar isto tudo aqui. E isso vai ser igual a 2π. Vamos, então, calcular em x = 3. Calculando em 3, temos 3⁵/5. Eu acho que 3⁵ = 243, mas vou verificar. 3³ = 27, 3⁴ = 81, 3⁵ = 243. Então, isso vai nos dar um pouco de complicação. Vai ser 243/5. 3⁴ = 81... Mas aí temos que multiplicar esse 81 por 7. Teremos 567, certo? 81 vezes 7... 7 vezes 1 = 7, 7 vezes 8 = 56. Então, vamos ter -567/4. Isso vai complicar a parte aritmética, mas vamos resolver! Depois, temos 5x³ = 27. 27 vezes 5 é quanto? 135? Não quero errar! 27 vezes 5... 7 vezes 5 = 35. 2 vezes 5 = 10. Isso, 135! Então, +135. E, finalmente, -9x². x² = 9, 9 vezes 9 = 81. Então, -81/2. Tudo isso é a partir de x calculado em 3. A partir daí, vamos subtrair quando x = 1. Nós temos: 1/5 - 7/4 + 5 - 9/2. O que sobram são apenas esses problemas de frações. Só espero não cometer um erro de atenção neste ponto. Vamos tentar fazer. Vai ser igual a 2π vezes... Se quisermos achar um múltiplo comum aqui, aparentemente, seria 20: o menor múltiplo comum de 5, 4 e 2 é 20. Então, teremos 243/5 sendo a mesma coisa que 243 vezes 4 / 20. O que nos dá: 4 vezes 3 = 12, 4 vezes 4 = 16, 16 + 1 = 17, 2 vezes 4 = 8, 8 + 1 = 9. Então, temos 972/20. Depois, temos que multiplicar 567 por 5. Pode ver que a aritmética é a pior parte aqui. 7 vezes 5 = 35. 6 vezes 5 = 30, 30 + 3 = 33. 5 vezes 5 = 25, 25 + 3 = 28. Então, temos 2.835/4. Depois, 135/20. Bem, 135 vezes 2 = 270, 270 vezes 10 = 2.700. +2.700/20. Fiz isso certo? Isso está certo! E, finalmente, 81/2. Isso é a mesma coisa que -810... Vou fazer na mesma cor: -810/20, numerador e denominador multiplicados por 10. Então, vamos ver. -1/5, mesma coisa que -4/20. Assim, 7/4 vai ser igual a 35/20. E esse -5 vai ser a mesma coisa que -100/20. Não quero cometer erros de atenção, quero ter certeza dos sinais. Depois que eu distribuí esse negativo, temos 9/2, que é a mesma coisa que 90/20. Acertei os sinais? -1/5, sinal de mais para este, +7/4, -5 e +90/20. Agora, só preciso fazer essas somas complicadas. Então, vamos lá! Primeiro, vou pegar todos os positivos e depois subtrair os negativos, apenas para simplificar. Preciso diminuir o número de vezes. Vou adicionar todos os positivos, depois, todos os negativos. E isso deve ficar como um problema de subtração. Então, 972 + 2.700 + 35 + 90. Vou escrever isso aqui. Isso vai ser 2.700 + 972... Eu queria pegar uma calculadora neste ponto, mas vou fazer só à mão, já que fiz tudo à mão. ...972 + 90 + 35. Então, temos um 7. 7 + 9 = 16, 16 + 3 = 19, certo? 16 + 3 = 19. E isto é 17, e isto é 3. Então, temos 3.797 quando somamos todos os positivos. Agora, os negativos. Vejamos. Vou adicioná-los para ver quantos negativos nós temos: 2.835, 810, 4 e 100. Eu adiciono 2.835, 810... Vejamos, 100 e 4. É quanto eu preciso subtrair disto. 5 + 4 = 9. 3 + 1 = 4. 8 + 8 + 1 = 17. Aí, temos um 3. Então, vamos subtrair 3.749 de 3.797. Isso funcionou bem! Isso nos dá 48. Vamos ver se não errei nada: 2.835, 810, 100 e 4, isso é o que eu estou subtraindo. 2.700, 972, 90 e 35 são os que estou somando. Então, 3.797 - 3.749. Então, toda a expressão... Merecemos rufar os tambores agora! Vai ser igual a 2π vezes 48/20. E ambos, 48 e 20, são divisíveis por 4. Então, temos 12/5. Meu cérebro está virando uma polpa já, estou paranoico com receio de ter cometido alguns erros de atenção. Estamos quase lá! Então, isso vira 12/5. E nossa resposta final vai ser: 12 vezes 2 = 24. Então, 24π/5. E terminamos!