Método das cascas para girar em torno de uma reta horizontal

RKA3JV - Neste vídeo, faremos a rotação da função "y" igual à raiz cúbica de "x", em torno do eixo "x". Ao fazermos isso, teremos um sólido de revolução parecido com este. Trabalharemos no intervalo de "x = 0" até "x = 8" e teremos uma figura parecida com esta. Poderíamos usar o método do disco neste problema, mas como alternativa, usaremos o método das cascas usando a rotação em torno do eixo "x". E como faremos isso? Bem, como você pode supor, começaremos construindo um retângulo parecido com este. desenhado em cor salmão. Sua profundidade ou altura será "dy" e seu comprimento será 8 menos qualquer valor inicial de "x". Escrevendo melhor, temos que a largura será 8 menos o valor inicial de "x". E como você pode imaginar, este será "dy". Faremos a integração em relação a "y" para um determinado intervalo de "y". Teremos todos os componentes em função de "y". Assim, este valor de "x", qualquer que seja, será uma função de "y". Se "y" é igual a raiz cúbica de "x", elevando os dois lados ao cubo teremos x = y³. Estas são sentenças equivalentes. Desta forma, a distância aqui representada será 8 - y³. Se pensarmos em função de "y". E quando efetuamos a rotação em torno do eixo "x" construiremos a parte externa de um cilindro ou casca. Eu farei o melhor desenho possível. Ficará parecido com este aqui. Bem, vamos lá! Eles dividem uma borda bem aqui e ficaremos com uma casca parecida com esta. Espero que ajude um pouco. Vamos adicionar um pouco de profundidade e a casca ficará parecida com isto. Podemos determinar o volume da casca que será igual à área da superfície externa, vezes a profundidade. Então, somamos todas as cascas, pois a que desenhamos é apenas uma casca particular. Efetuando a soma de todos os volumes das cascas presentes no intervalo de "y" desejado, então, temos o volume da figura. Retomando, como calculamos o volume de uma casca cilíndrica? Primeiro, determinamos o comprimento da circunferência à esquerda ou à direita de nosso cilindro. Este comprimento será calculado como 2 vezes π, vezes o raio. E o que é o raio? O raio destes cilindros será o nosso valor de "y", será a distância representada aqui. O comprimento será 2π vezes "y". E a área da superfície externa será calculada multiplicando o comprimento da circunferência pela largura do cilindro. Vamos escrever tudo isto agora. A área da superfície externa será dada por 2π vezes "y" vezes a diferença entre 8 e y³. 8 - y³ equivale a extensão. Multiplicamos a extensão pelo comprimento da circunferência. Obtendo, assim, a área da superfície. Para calcularmos o volume desta casca faremos o produto entre a área da casca e a profundidade. Ou seja, 2π vezes "y", vezes a diferença entre 8 e y³, vezes "dy". Este será o volume de uma casca. Para determinar o volume do sólido de revolução completo, devemos somar todas as cascas e tomar o limite até que elas se tornem infinitesimalmente finitas e adotando uma quantidade infinita de cascas. Não se esqueça que estamos somando em relação a "y". Então, vamos determinar o intervalo em relação a "y". O valor inicial, certamente, é zero. E para "x = 8", qual será o valor de "y"? Bem, 8 elevado a 1/3 equivale a 2. Então, "y = 2". Deixando um pouco mais evidente, este valor aqui é 2. Então, "y" varia de zero a 2, e podemos escrever a nossa integral. A integral que aparece é bem direta. Então, vamos ao trabalho! Colocando 2π em evidência, fora da integral, temos 2π vezes a integral definida entre zero e 2. Multiplicando por "y", temos 8y - y⁴, tudo vezes "dy". E será igual a 2π vezes a antiderivada de tudo isso. A antiderivada de 8y é 4y². A antiderivada de -1y⁴ é -y⁵/5 Para "y = 2", teremos 2π vezes 2², que dá 4, 4 vezes 4 = 16, menos 2⁵/5. Ou seja, temos 32/5. E para "y" igual a zero, toda a expressão vale zero. Ficamos, então, com esta expressão. Agora, devemos simplificar um pouco as coisas. Observe, 16 equivale a 80/5, e dele subtraímos 32/5, restando 48/5. Então, toda esta parte vale 48/5. De acordo? 80 - 30 = 50, menos 2 = 48. Então, temos 48/5 vezes 2π. Agora, finalizando, e que rufem os tambores! 48 vezes 2 é igual a 96. Mudarei de cor para enfatizar que estamos no final. 48 vezes 2 é 96, vezes π/5. Então, mais uma vez, aqui temos algo que poderia ter sido resolvido usando o método do disco em função de "x". Estamos apenas mostrando que o problema também pode ser solucionado usando o método das conchas em função de "y".