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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 6
Lição 11: Método da casca- Método das cascas para rotação em torno de uma reta vertical
- Exemplo de cálculo de integral pelo método das cascas
- Método das cascas para girar em torno de uma reta horizontal
- Método das cascas com duas funções de x
- Cálculo de integral com o método das cascas
- Método das cascas com duas funções de y
- Parte 2 do método das cascas com duas funções de y
- Método da casca
- Exercícios de método das cascas
- Desafio do método das cascas
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Método das cascas para rotação em torno de uma reta vertical
Introdução do método das cascas para rotação em torno de uma reta vertical. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA1JV - A gente tem a função
y = (x - 3)² (x - 1). E o que gente vai fazer aqui
é pegar parte dessa função entre "x" igual a 1 e "x" igual a 3, que são os pontos que zeram essa função. A gente vai pegar essa parte da função e rotacioná-la em torno do eixo "y". Fazendo isso, a gente vai ter algo assim. E o que a gente quer fazer é calcular
o volume dessa forma que a gente atinge rotacionando
essa parte da função em torno do eixo "y". Para isso, a gente vai
usar um novo método, a gente vai usar o método concha. No passado, a gente já rotacionou
coisas ao redor do eixo "y". E a gente usou o método dos discos. Mas, o que acontece aqui é que essa função é muito difícil de a gente expressá-la
em termos de "y". Como é que a gente resolve
isso aqui para "y"? O que a gente vai fazer é manter
essa função em termos de "x" e buscar um novo método
de visualizar esse volume. Em vez de imaginar discos, a gente vai imaginar conchas. Como vai funcionar isso? Para cada ponto de "x", a gente pode construir um
retângulo dessa forma aqui. E o que acontece se a gente
rotacionar isso? Aqui a gente vai ter nosso retângulo, rotacionando, a gente teria
algo parecido com isso. A gente teria algo como uma
circunferência vazia no meio. Por isso, método da concha. Essa concha vai ter uma largura,
que vai ser "dx", seria a largura dessa linha
que a gente fez aqui. E ela vai ter uma altura que vai ser
o valor da nossa função para esse ponto. Essa altura vai ser f(x), então, como que a gente acha agora
o volume de um cilindro como esse? Se a gente conseguir descobrir
a circunferência desse cilindro, e se a gente sabe o valor da altura, a gente consegue descobrir a área. A área externa de cilindro. Descobrindo essa área externa, a gente pode multiplicar por
essa largura muito pequena. A gente vai ter o volume desse cilindro. Então, qual vai ser a circunferência
desse nosso cilindro? Dessa nossa concha. Pela fórmula, a nossa circunferência
é 2π vezes nosso raio. Como é que a gente expressa
isso em termos de "x"? Basicamente, o nosso raio vai ser
a distância do eixo "y" até o nosso ponto. Então é, basicamente, o próprio "x". Então nossa circunferência vai ficar 2πx e a nossa altura, como a gente tinha visto, nossa altura
vai ser o valor de f(x) para esse ponto. Com isso, a gente pode calcular, agora, a área da superfície externa
desse cilindro, que vai ser igual à circunferência
vezes a altura. Isso aqui vai ficar 12π vezes "x", vezes (x - 3)² ( x - 1). E o volume? O volume vai ser essa área
que a gente achou, vezes dx. Então, o volume da nossa concha vai ser
2π vezes "x", vezes f(x), vezes dx. Agora a gente está pronto
para integrar essa função no nosso intervalo de interesse. Então, o nosso volume final vai ser integral definida de "x" igual a 1 até "x" igual a 3 que é o nosso intervalo de interesse. A gente vai integrar de 1 até 3. A gente pode deixar o 2π de fora já. Então, aqui vai ficar a integral de
"x" vezes f(x) que vai ser (x - 3)² (x - 1) dx. Então é isso, a partir
do método da concha, a gente conseguiu achar
a integral definida que a gente precisa achar
o volume dessa forma que foi formada utilizando essa função e rotacionando-a ao longo do eixo "y".