Método das cascas para rotação em torno de uma reta vertical

RKA1JV - A gente tem a função y = (x - 3)² (x - 1). E o que gente vai fazer aqui é pegar parte dessa função entre "x" igual a 1 e "x" igual a 3, que são os pontos que zeram essa função. A gente vai pegar essa parte da função e rotacioná-la em torno do eixo "y". Fazendo isso, a gente vai ter algo assim. E o que a gente quer fazer é calcular o volume dessa forma que a gente atinge rotacionando essa parte da função em torno do eixo "y". Para isso, a gente vai usar um novo método, a gente vai usar o método concha. No passado, a gente já rotacionou coisas ao redor do eixo "y". E a gente usou o método dos discos. Mas, o que acontece aqui é que essa função é muito difícil de a gente expressá-la em termos de "y". Como é que a gente resolve isso aqui para "y"? O que a gente vai fazer é manter essa função em termos de "x" e buscar um novo método de visualizar esse volume. Em vez de imaginar discos, a gente vai imaginar conchas. Como vai funcionar isso? Para cada ponto de "x", a gente pode construir um retângulo dessa forma aqui. E o que acontece se a gente rotacionar isso? Aqui a gente vai ter nosso retângulo, rotacionando, a gente teria algo parecido com isso. A gente teria algo como uma circunferência vazia no meio. Por isso, método da concha. Essa concha vai ter uma largura, que vai ser "dx", seria a largura dessa linha que a gente fez aqui. E ela vai ter uma altura que vai ser o valor da nossa função para esse ponto. Essa altura vai ser f(x), então, como que a gente acha agora o volume de um cilindro como esse? Se a gente conseguir descobrir a circunferência desse cilindro, e se a gente sabe o valor da altura, a gente consegue descobrir a área. A área externa de cilindro. Descobrindo essa área externa, a gente pode multiplicar por essa largura muito pequena. A gente vai ter o volume desse cilindro. Então, qual vai ser a circunferência desse nosso cilindro? Dessa nossa concha. Pela fórmula, a nossa circunferência é 2π vezes nosso raio. Como é que a gente expressa isso em termos de "x"? Basicamente, o nosso raio vai ser a distância do eixo "y" até o nosso ponto. Então é, basicamente, o próprio "x". Então nossa circunferência vai ficar 2πx e a nossa altura, como a gente tinha visto, nossa altura vai ser o valor de f(x) para esse ponto. Com isso, a gente pode calcular, agora, a área da superfície externa desse cilindro, que vai ser igual à circunferência vezes a altura. Isso aqui vai ficar 12π vezes "x", vezes (x - 3)² ( x - 1). E o volume? O volume vai ser essa área que a gente achou, vezes dx. Então, o volume da nossa concha vai ser 2π vezes "x", vezes f(x), vezes dx. Agora a gente está pronto para integrar essa função no nosso intervalo de interesse. Então, o nosso volume final vai ser integral definida de "x" igual a 1 até "x" igual a 3 que é o nosso intervalo de interesse. A gente vai integrar de 1 até 3. A gente pode deixar o 2π de fora já. Então, aqui vai ficar a integral de "x" vezes f(x) que vai ser (x - 3)² (x - 1) dx. Então é isso, a partir do método da concha, a gente conseguiu achar a integral definida que a gente precisa achar o volume dessa forma que foi formada utilizando essa função e rotacionando-a ao longo do eixo "y".