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Método das cascas com duas funções de y

Aumentando um pouco o nível, nosso sólido agora é definido em função de duas funções separadas. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - Tomaremos a região entre duas curvas: uma definida como função de "y" onde x = (y - 1)² e outra onde y = x - 1. Pegarei esta região aqui e vou girar ao redor da linha y = -2 Para obter uma forma que parece com a frente de um avião. Vamos descobrir seu volume. Para isso, podemos usar o método do disco ou das cascas cilíndricas. No método do disco, criaríamos discos como este, integrando em relação a "x". Mas temos que dividir o problema corretamente, porque temos bordas inferiores distintas. Precisamos usar duas funções. Uma função superior e outra para a borda inferior, no intervalo em "x". E outra para o outro intervalo "x", mas podemos usar o método do disco. Mas, ao contrário, não queremos quebrar as funções e tudo mais. Então, vamos usar o método das cascas cilíndricas, porque já expressamos uma das funções como 1 em função de "y". Isto não será muito difícil de fazer. O que vamos fazer de novo é imaginar a construção de pequenos retângulos, com altura dy. Vamos girar os retângulos em torno de y = -2. Vamos desenhar o mesmo retângulo aqui. Quando fazemos isso, construímos a casca. Deixe-me fazer isso. Vamos entre os dois pontos. E isto é quando descemos aqui. Assim, deixamos claro que constrói uma casca de espessura dy, ou profundidade dy. Vou fazer assim. Esta é a casca, e tem uma espessura que é dy. Esta é a espessura da concha. Vou colorir aqui um pouco. Veja o 3D da minha casca. Quando terminamos esses problemas, o objetivo é determinar o volume de cada casca. Assim, podemos entrar com o intervalo "y" e integramos em todo o intervalo de "y". Já fizemos isso várias vezes. Primeiro, pensamos: qual é o raio de uma das cascas? O raio do desenho em magenta, essencialmente, será a distância entre y = -2 e o valor específico de "y". A distância aqui é "y" e temos outro 2. A distância será y + 2. Outra forma de pensar é que isto é igual a y menos 2 negativo para saber a distância, que será y + 2. Então, o raio de uma das cascas será y + 2. Se o raio é y + 2, sabemos o comprimento da circunferência: será 2π vezes (y + 2). A área da superfície externa da casca, destacada aqui, será o comprimento da circunferência vezes a largura desta concha vezes a distância aqui, ou podemos dizer vezes esta distância. E qual é a distância? Lembre-se: queremos tudo como função de "y". Isto será a função superior como função de "y", menos a função inferior. Pensemos sobre a função superior: é a função que nos dá valores máximos de "x" neste intervalo. Esta função azul é a função superior quando pensamos em termos de "y". Tem que ser expressa como função de "y". Vou fazer isso. Podemos reescrever adicionando 1 aos dois lados, tendo x = y +1. Esta é a função superior. E a função inferior, se inclinar a cabeça para a direita e olhar desta forma, verá que esta é a função superior e esta é a função inferior para o mesmo valor de "y". Isto dá um valor maior para "x" do que este para o mesmo valor de "y". Aqui temos os valores superiores de "x". Então, a área será uma circunferência vezes a dimensão. Irei escrever. A área de uma casca será 2π vezes (y + 2) vezes a distância da função superior. A distância entre a função x = y + 1 e a função inferior, x = (y - 1)². Colocarei os parênteses da mesma cor. E, se quisermos o volume da casca, usamos a superfície externa da casca e multiplicamos pela profundidade, que é dy. Isso nos dá a integral. O volume de uma casca é 2π vezes (y + 2), vezes y + 1 - (y - 1)². Multiplicamos pela espessura da casca (dy), integramos sobre o intervalo e teremos o volume. Qual o intervalo? Talvez consiga ver isto, mas conseguimos resolver isto. Quando estes dois termos se igualam? Podemos fazer y + 1 igual ao quadrado de "y" - 1. Tomando y + 1 igual ao quadrado de "y" - 1 e expandindo, temos y² - 2y + 1. Vejamos: podemos subtrair "y" dos dois lados e subtrair 1 dos dois lados. -y - 1. Então, temos zero no lado esquerdo e, no lado direito, tenho y² - 3y. E isto será igual a zero. Então, 0 = y vezes (y - 3). O produto é zero quando "y" é igual a zero ou "y" é igual a 3. E vemos isso bem aqui. Em y = 0, as funções se interceptam. Em y = 3, as funções se interceptam. O intervalo será de y = 0 até y = 3. Então, com o método das cascas cilíndricas, escrevemos a integral definida e podemos pensar em como estimar seu valor.