Aquecimento: introdução às integrais definidas (artigo)

Problema 1

O gráfico de uma função

f

‍ é mostrado abaixo.

a) $\int_{- 6}^{1} f (x) d x =$ ‍

Sua resposta deve ser
um número inteiro, como $6$ ‍
uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍
uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍
um número misto, como $1 3 / 4$ ‍
um número decimal exato, como $0, 75$ ‍
um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

Até agora, estivemos usando a área aproximada para calcular a integral definida. Tente encontrar a área exata.

Cuidado com as áreas abaixo do eixo

x

‍. Elas subtraem da integral definida!

Vamos sombrear a área entre

f

‍ e o eixo

x

‍ de

x = - 6

‍ a

x = 1

‍:

Vamos calcular a área dividindo a forma em um retângulo e um triângulo:

Área do retângulo = 4 \cdot 5 = 20

‍

Área do triângulo = \frac{3 \cdot 5}{2} = 7, 5

‍

\int_{- 6}^{1} f (x) d x = 20 + 7, 5 = 27, 5

‍

b) $\int_{1}^{4} f (x) d x =$ ‍

Sua resposta deve ser
um número inteiro, como $6$ ‍
uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍
uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍
um número misto, como $1 3 / 4$ ‍
um número decimal exato, como $0, 75$ ‍
um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

Vamos sombrear a área entre

f

‍ e o eixo

x

‍ de

x = 1

‍ a

x = 4

‍:

Estamos procurando a área de um triângulo:

Área do triângulo = \frac{3 \cdot 5}{2} = 7, 5

‍

Ideia-chave: a área líquida é negativa porque ela está abaixo do eixo $x$ ‍.

\int_{1}^{4} f (x) d x = - 7, 5

‍

c) $\int_{- 6}^{4} f (x) d x =$ ‍

Sua resposta deve ser
um número inteiro, como $6$ ‍
uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍
uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍
um número misto, como $1 3 / 4$ ‍
um número decimal exato, como $0, 75$ ‍
um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

Vamos sombrear a área entre

f

‍ e o eixo

x

‍ de

x = - 6

‍ a

x = 4

‍:

Já encontramos cada uma dessas áreas separadamente:

A área líquida de

x = - 6

‍ a

x = 1

‍ é

27, 5

‍.

A área líquida de

x = 1

‍ a

x = 4

‍ é

- 7, 5

‍.

Então, a área líquida de

x = - 6

‍ a

x = 4

‍ deve ser

27, 5 + (- 7, 5) = 20

‍.

\int_{- 6}^{4} f (x) d x = 20

‍

Problema 2

O gráfico de uma função

g

‍ é mostrado abaixo. O gráfico é composto por um semicírculo e segmentos lineares.

\int_{- 7}^{- 1} g (x) d x =

‍

Escolha 1 resposta:

(Escolha A)
$- 9 π$ ‍
(Escolha B)
$- \frac{9}{2} π$ ‍
(Escolha C)
$\frac{9}{2} π$ ‍
(Escolha D)
$9 π$ ‍

Vamos sombrear a área entre

g

‍ e o eixo

x

‍ de

x = - 7

‍ a

x = - 1

‍:

Estamos procurando a área de um semicírculo com um raio de

3

‍:

Área do semicírculo = \frac{1}{2} π \cdot 3^{2} = \frac{9}{2} π

‍

Ideia-chave: a área líquida é negativa porque ela está abaixo do eixo $x$ ‍.

\int_{- 7}^{- 1} g (x) d x = - \frac{9}{2} π

‍

\int_{- 1}^{8} g (x) d x =

‍

Sua resposta deve ser
um número inteiro, como $6$ ‍
uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍
uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍
um número misto, como $1 3 / 4$ ‍
um número decimal exato, como $0, 75$ ‍
um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

Vamos sombrear a área entre

g

‍ e o eixo

x

‍ de

x = - 1

‍ a

x = 8

‍:

Estamos procurando a área de um triângulo:

Área do triângulo = \frac{9 \cdot 3}{2} = \frac{27}{2}

‍

\int_{- 1}^{8} g (x) d x = \frac{27}{2}

‍

\int_{- 7}^{8} g (x) d x =

‍

Escolha 1 resposta:

(Escolha A)
$\frac{27}{2} - \frac{9 π}{4}$ ‍
(Escolha B)
$\frac{27}{2} + \frac{9 π}{4}$ ‍
(Escolha C)
$\frac{27}{2} - \frac{9 π}{2}$ ‍
(Escolha D)
$\frac{27}{2} + \frac{9 π}{2}$ ‍

Vamos sombrear a área entre

g

‍ e o eixo

x

‍ de

x = - 7

‍ a

x = 8

‍:

Já encontramos cada uma dessas áreas separadamente:

A área líquida de

x = - 7

‍ a

x = - 1

‍ é

- \frac{9}{2} π

‍.

A área líquida de

x = - 1

‍ a

x = 8

‍ é

\frac{27}{2}

‍.

Então, a área líquida de

x = - 7

‍ a

x = 8

‍ deve ser

- \frac{9}{2} π + \frac{27}{2}

‍.

\int_{- 7}^{8} g (x) d x = \frac{27}{2} - \frac{9}{2} π

‍

Desafio

O gráfico de uma função

h

‍ é mostrado abaixo. O gráfico é composto por um semicírculo e segmentos lineares.

\int_{- 7}^{- 2} h (x) d x =

‍

Sua resposta deve ser
um número inteiro, como $6$ ‍
uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍
uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍
um número misto, como $1 3 / 4$ ‍
um número decimal exato, como $0, 75$ ‍
um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

Vamos sombrear a área entre

h

‍ e o eixo

x

‍ de

x = - 7

‍ a

x = - 2

‍:

Estamos procurando a área de um trapézio:

Área do trapézio = h (\frac{b_{1} + b_{2}}{2}) = 3 (\frac{2 + 5}{2}) = 10, 5

‍

Ideia-chave: a área líquida é negativa porque ela está abaixo do eixo $x$ ‍.

\int_{- 7}^{- 2} h (x) d x = - 10, 5

‍

\int_{- 5}^{1} h (x) d x =

‍

Sua resposta deve ser
um número inteiro, como $6$ ‍
uma fração própria simplificada, como $3 / 5$ ‍
uma fração imprópria simplificada, como $7 / 4$ ‍
um número misto, como $1 3 / 4$ ‍
um número decimal exato, como $0, 75$ ‍
um múltiplo de pi, como $12 pi$ ‍ ou $2 / 3 pi$ ‍

Vamos sombrear a área entre

h

‍ e o eixo

x

‍ de

x = - 5

‍ a

x = 1

‍:

Observe que as áreas abaixo e acima do eixo

x

‍ são as mesmas. A área líquida é

0

‍ porque a área positiva acima do eixo

x

‍ anula a área negativa abaixo do eixo

x

‍.

\int_{- 5}^{1} h (x) d x = 0

‍

\int_{- 1}^{8} h (x) d x =

‍

Escolha 1 resposta:

(Escolha A)
$27 + 4 π$ ‍
(Escolha B)
$27 - 4 π$ ‍
(Escolha C)
$27 + 2 π$ ‍
(Escolha D)
$27 - 2 π$ ‍

Vamos sombrear a área entre

h

‍ e o eixo

x

‍ de

x = - 1

‍ a

x = 8

‍:

Estamos procurando a área de um retângulo com um semicírculo cortado:

Área do retângulo = 3 \cdot 9 = 27

‍

Área do semicírculo = \frac{1}{2} π \cdot 2^{2} = 2 π

‍

\int_{- 1}^{8} h (x) d x = 27 - 2 π

‍

Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 4

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