Exemplo resolvido: cálculo da integral definida pela análise do gráfico da função

RKA3JV - O que eu pretendo, com este vídeo, é verificar se conseguimos calcular a integral de -3 até 3 da raiz quadrada de "9 - x²" dx. Eu sugiro que você pause o vídeo e tente fazer sozinho. Fique com uma dica: você pode fazer isso rapidamente olhando para o gráfico desta função. Ok, agora que você já deve ter pensado a respeito, vamos verificar como fazer o cálculo desta integral definida usando apenas o gráfico desta função. Em primeiro lugar, óbvio, vamos representá-la graficamente. Eu coloco os eixos aqui. Agora, vem a questão: como é o gráfico dessa função definida por √9 - x²? Você já deve ter estudado, em aulas de geometria analítica, o gráfico de algumas cônicas. Vamos aproveitar para relembrar isso. Representando "y" como uma função f(x) que é definida por √9 - x². Se elevarmos o "y" ao quadrado, vamos ter aquela raiz quadrada cancelada. Então, teremos y² = 9 - x². E aí, podemos chegar ao fato de que y² + x² = 9. E eu espero, agora, que você reconheça esta expressão como aquela que define uma circunferência com centro na origem e raio 3. Mas, atenção! Lembre-se de que estamos falando de uma função, e uma circunferência não representa uma função. A circunferência, de fato, apareceria se aqui existisse o sinal de mais ou o sinal de menos. E isso daria mais de uma imagem para o mesmo domínio. Portanto, não estaríamos falando de uma função. Como não temos o sinal de menos, evidentemente, vamos usar só a ideia do sinal de mais ali. E, justamente, por causa disso, nós estamos nesta circunferência olhando só para a metade dela, que está acima do eixo "x". Localizando aqui, o -3, o 3. No eixo "y", 3. O gráfico desta função seria algo razoavelmente como isto que eu estou traçando aqui. Veja que os valores de "x" estão entre -3 e 3. De fato, isso faz sentido, porque se o valor absoluto de "x" for maior que 3, ali dentro da raiz quadrada teríamos um número negativo. O que não permite definir a função para números reais. Muito bem, agora já temos aqui o gráfico, sabemos como a função se comporta. E o que queremos é justamente a integral de -3 até 3 desta função em relação a "x". Essa integral definida é justamente a área sob a curva que representa a função, que é esta semicircunferência. É justamente essa região que eu estou destacando em verde. Para calcular essa área, nós não precisamos das ferramentas do cálculo, você pode usar as ferramentas da geometria, que conhece há mais tempo. Você deve se lembrar de que a área do círculo inteiro é πr². Como aqui o raio é 3, a área do círculo inteiro seria π vezes 3² que é igual a 9π. Mas, como temos apenas metade do círculo, basta dividir por 2. Portanto, a área sob o gráfico desta função para "x", entre -3 e 3 é 9π / 2, que é exatamente o valor desta integral definida. Até o próximo vídeo!