Classificação de estimativas de áreas

RKA1JV - Aqui nós temos o gráfico da função "f" e do lado a gente tem quatro expressões diferentes. Eu encorajo vocês a pausar este vídeo e vejam se vocês conseguem descobrir quais dessas expressões vai resultar no maior valor, no segundo maior valor, no terceiro maior valor e no quarto maior valor. Imagino que você tenha pausado o vídeo e tentado. Agora, vamos analisar isso aqui juntos. Nesta primeira expressão aqui, a gente tem que fazer a soma de zero até 9. Na verdade, a gente está fazendo a soma de 10 coisas, porque a gente vai começar do "i" igual a zero e vai somando "i" igual a 1, "i" igual a 2, "i" igual a 3, até chegar no 9. A gente começa aqui com f(-5) mais zero, que o nosso primeiro valor do "i" aqui é zero. -5 mais zero vai dar -5 que vai ser esse ponto aqui. Essa altura aqui no gráfico. Quando o "i" valer 1, vai ser -5 mais 1 que dá -4, então, no gráfico, vai ser essa altura aqui. Quando "i" for 2, -5 mais 2 vai dar -3 que vai ser essa altura aqui. E assim por diante. O que a gente vai fazer é colocar as alturas aqui para somar toda essa área. E essa primeira expressão aqui vai até o "i" igual a 9. -5 mais 9 vai dar 4. Então vai ser até aqui o 4, todos os pontos aqui no meio do caminho. Você pode estar pensando: "Tá, o que eu faço com isso?" Porque o que essa expressão está dando para a gente são só os pontos dessa função na curva. A gente poderia dizer que são essas alturas aqui que a gente está arriscando. E como a gente pega isso e transforma, usa isso para calcular a área? Uma coisa que dá para a gente pensar é que a gente pode construir retângulos de largura 1 com esses pontos aqui que a gente tem. Se a gente vir aqui e multiplicar por 1, como a área do retângulo é base vezes altura, a nossa base seria 1 e a altura é o resultado da função. O que a gente está fazendo é montando retângulos a partir dos pontos que a gente calculou aqui na função. Como a gente sabe a área do retângulo, a gente está estimando qual vai ser a área aqui debaixo da curva que está em azul. Que vai ser a soma de todos os retângulos. É claro que isso vai ser um valor subestimado, porque vai faltar esses pedacinhos aqui em cima de cada retângulo. Esse valor aqui vai dar menos que a área real da curva. Vou escrever aqui que esse valor está subestimado, porque ele é menos do que a área azul que a gente vai calcular. Agora vamos dar uma olhada aqui nessa segunda expressão, a gente vê que ela é exatamente igual a de cima. Só que aqui em vez de ir de "i" igual a zero até 9, a gente vai de "i" igual a 1 até 10. E o primeiro valor aqui quando o "i" for igual a 1, vai ficar -5 mais 1, -4, vai ser essa linha aqui. E a gente vai fazer a mesma coisa. A gente vai multiplicar aqui por 1 e fazer retângulos para estimar a área. E como ela está começando para frente da área que a gente quer calcular, a gente vai ter que fazer um retângulo aqui da direita para a esquerda. O outro a gente fez da esquerda para a direita. E a gente vai continuando aqui. Quando "i" for 2, vai ficar -5 mais 2, dá -3, vai dar essa linha aqui. E a gente faz o retângulo aqui também. Depois, a gente vai ter o -2, a gente vai fazendo mais retângulo aqui. E aqui dá para a gente perceber claramente que, ao contrário do outro, isso aqui vai ser um valor superestimado. Porque todas as barras estão ficando mais altas do que a curva. Porque a gente está fazendo o retângulo da direita para a esquerda. Quando o "i" for igual a 10, vai dar aqui 5, vai ser o valor mais alto na nossa curva. A gente vai fazendo aqui com os retângulos e vendo que vai ficar tudo para cima da curva mesmo. A gente pode dizer aqui que, por causa de todas essas pontas dos retângulos que sobraram para cima da curva, essa expressão aqui é uma super estimativa do valor da área. Agora vamos pensar nesse aqui, no terceiro. Este nós vamos começar de "i" igual a 1 até "i" igual a 20, só que parece que em vez de fazer retângulo de largura 1, a gente vai fazer retângulo de largura 1/2. E aqui, de novo, como a gente vai começar com "i" igual a 1 para frente da área que a gente está querendo estimar, a gente vai fazer o retângulo da direita para a esquerda. E esses retângulos vão ter 1/2 de largura. O primeiro aqui vai ser -5 mais 1/2, então, vai ser mais ou menos por aqui. E a gente multiplica por 1/2 que é a largura aqui do retângulo. E a gente vai ficar com o dobro de retângulos do que no caso anterior. Vai ficar mais ou menos assim. Não vai dar para desenhar todos porque vai demorar muito, mas dá pra ter uma ideia. Isso aqui também, como vai sobrar uma das pontas aqui para cima da curva, também vai ser uma super estimativa. Mas vai ser uma estimativa um pouco mais precisa do que essa de cima aqui. Porque, na de cima, a gente tinha todo esse espaço verde aqui sobrando. Na de baixo, a gente vai ter espaço sobrando, mas dá para ver aqui que vai ser menos. Então vai estar mais próximo do valor real da área aqui da curva. É uma super estimativa, só que mais precisa do que essa aqui de cima. E essa última expressão aqui é a integral definida de -5 até 5 de f(x)dx, que é basicamente o limite dessa função. Na medida que a gente vai deixando as larguras dos retângulos menores, menores, menores, e menores, a gente vai ter um número cada vez maior de retângulos, que vai chegar até, basicamente, o infinito. E isso vai dar para a gente a área real, a área verdadeira dessa curva, então, se a gente for ordenar aqui do maior para o menor, essa expressão aqui vai ser a maior super estimativa. Já essa aqui de baixo, também é uma super estimativa, mas é um pouco mais precisa, porque os retângulos são menores. Essa aqui vai ser a área verdadeira e essa última aqui vai ser uma área menor do que a verdadeira, uma subestimativa.