Se você está vendo esta mensagem, significa que estamos tendo problemas para carregar recursos externos em nosso website.

If you're behind a web filter, please make sure that the domains *.kastatic.org and *.kasandbox.org are unblocked.

Conteúdo principal

Raciocínio para a segunda parte do teorema fundamental do cálculo

A segunda parte do teorema fundamental do cálculo nos diz que, para encontrar a integral definida de uma função ƒ de 𝘢 até 𝘣 , precisamos calcular uma primitiva de ƒ, chamá-la de 𝘍, e calcular 𝘍(𝘣)-𝘍(𝘢). Raciocine por que isso é assim. Versão original criada por Sal Khan.

Quer participar da conversa?

Nenhuma postagem por enquanto.
Você entende inglês? Clique aqui para ver mais debates na versão em inglês do site da Khan Academy.

Transcrição de vídeo

RKA8JV - Vamos considerar S(t) uma função da posição em relação ao tempo. E eu vou traçar no gráfico um possível S(t) aqui. Temos no eixo horizontal, o eixo do tempo, e eu vou traçar uma parábola aqui. Eu poderia ter feito de outra maneira, mas eu vou traçar uma parábola porque é mais fácil de entender. Vamos chamar este outro eixo aqui de eixo de "y", e vamos dizer que "y = S(t)", para a gente poder ter um gráfico da posição em função do tempo. Vamos pensar no que acontece se a gente quiser refletir um pouco acerca da mudança de posição entre dois tempos. Por exemplo: entre o tempo "a", que vamos marcar aqui, e o tempo "b", que vamos marcar aqui. Então, qual seria a mudança de posição entre o tempo "a" e o tempo "b"? Bem, no tempo "b", estamos na posição S(b), e no tempo "a", estamos na posição S(a). Então, a mudança de posição entre os tempos "a" e "b", e pode até parecer algo fácil, mas isso é muito importante. Essa mudança de posição entre os tempos "a" e "b" vai ser igual a S(b) - S(a). Isso não é muito complicado, não é? Bem, vamos pensar então no que acontece se a gente determinar a derivada desta função aqui. O que acontece se calcularmos a derivada de uma posição em função do tempo? Lembre-se, a derivada nos dá o ângulo de inclinação da reta tangente em qualquer ponto. Então, se considerarmos um ponto aqui, o ângulo de inclinação da reta tangente que passa neste ponto é a derivada, e vai nos mostrar para uma mudança muito pequena em "t", claro, eu vou dar uma exagerada visualmente. Para uma mudança muito pequena em "t", o quanto que vai mudar na posição. Então por isso escrevemos aqui, dS/dt, que é derivada da função posição em relação ao tempo. Agora observe bem, estamos falando da taxa de mudança da posição em função do tempo. Isso seria o quê? Bem, isso é a velocidade. Então, isso aqui é igual à velocidade. Deixe-me escrever aqui de uma forma diferente. Então esse dS/dt, que será algo em função do tempo, será igual a S'(t), lembre-se, são dois modos diferentes de escrever a derivada de "S" em função do tempo. Isso deixa até um pouco mais claro que isso é diretamente uma função do tempo. E nós sabemos que isso é exatamente a mesma coisa que a velocidade em função do tempo, que nós podemos expressar como V(t). Vamos traçar como seria o gráfico de V(t) nesse contexto? Eu vou colocar o outro eixo aqui embaixo, que se parece bastante com o original, só que aqui eu vou colocar a V(t) no gráfico. Isto aqui vai ser novamente o meu eixo "y" e isso aqui vai ser o meu eixo "t". E aí, eu vou desenhar o gráfico de "y" sendo igual a V(t). Se isto aqui em cima é realmente uma parábola, a inclinação aqui é zero, ou seja, a taxa de mudança é zero e depois segue aumentando. A inclinação vai aumentando mais e mais, então este gráfico, y = V(t), tem esta forma aqui. Ok, agora vamos usar um pouco deste gráfico para começar a pensar e poder conceituar a distância ou a mudança da posição entre os tempos "a" e "b". Novamente, a gente vai voltar lá na soma de Riemann. Vamos pensar no que a área de um pequeno retângulo representa e vamos dividir isso em vários retângulos. Eu vou fazer aqui em retângulos maiores para a gente ter espaço para trabalhar, tudo bem? Mas vamos imaginar que eles são muito menores do que isso. Aí, eu vou fazer a soma de Riemann à esquerda, porque nós fizemos isso muitas vezes, mas também poderíamos fazer à direita, enfim, qualquer outra que a gente quisesse. Bem, deixa eu fazer 3 retângulos aqui, com uma aproximação, mas você pode imaginar mais próximos, tudo bem? Agora, o que seria a área de cada um desses retângulos? Isso aqui seria uma aproximação do quê? Bem, esse aqui é f(a), ou poderíamos dizer V(a). Então, a velocidade no tempo "a" teria esta altura aqui, e a distância é esta aqui, que é uma mudança no tempo Δt. Então, a área do retângulo é a velocidade neste momento multiplicada pela mudança no tempo. Agora, o que seria a velocidade neste momento multiplicada pela variação do tempo? É exatamente a variação na posição. Então isso daqui te daria uma boa aproximação da variação da posição nesse intervalo de tempo. A área deste retângulo aqui também é uma aproximação para variação da posição nesse intervalo de tempo. E aí, você pode imaginar isto aqui como sendo uma aproximação da variação da posição para o próximo intervalo de tempo. Agora, se você quer realmente entender a variação da posição entre os tempos "a" e "b", você poderia fazer uma soma de Riemann, e aí chegar a uma boa aproximação. Para isso, você vai fazer o somatório "i = 1" até "n" para a soma de Riemann à esquerda. Mas novamente, poderíamos usar um ponto médio, um ponto à direita, enfim, qualquer outro ponto para fazer a soma de Riemann. Eu vou fazer à esquerda porque eu já coloquei V(t) aqui, tudo bem? Então, isso aqui seria t₀, que seria "a", e este é p primeiro retângulo. Para o primeiro retângulo, você usa a função avaliada em t₀. Para o segundo, você usa a função avaliada em t₁. Já fizemos isso em vários outros vídeos. E então, multiplicamos isto por cada mudança no tempo, e isso será uma aproximação do nosso total, onde Δt = (b - a) dividido pelo número de intervalos. Já sabemos de muitos vídeos que, quando temos a soma de Riemann, teremos uma boa aproximação para duas coisas. Como já falamos, para a variação da posição, mas também será uma aproximação para a nossa área. Como você pode ver aqui, estamos fazendo uma aproximação da mudança de posição. Isso também é a aproximação da área abaixo da curva. Bem, eu espero que isso te satisfaça. Se você quiser calcular a área abaixo da curva, é muito fácil fazer isso porque isso aqui é um trapezoide. Mas mesmo que fosse uma função, daria para fazer da mesma forma. Afinal, podemos calcular a área abaixo da curva da função da velocidade, e com isso, nós estaríamos calculando a variação da posição. Estas duas são as mesmas coisas. E já sabemos o que fazer para determinar a área abaixo da curva, não é? Ou seja, para ter exatamente a variação da posição. Bem, como temos muitos retângulos, podemos usar o limite como o número de retângulos, e aí vamos usar o limite quando "n" tende ao infinito. Lembrando que Δt = (b - a)/n. Então quando "n" tende ao infinito, nós vamos ter um Δt infinitamente pequeno. Uma maneira de pensar isso é a gente transformar esse Δt em "dt". Nós já aprendemos a trabalhar com essa notação, não foi? Esta aqui é uma maneira de pensar em uma integral de Riemann. Usamos a soma de Riemann à esquerda, novamente falando, a gente poderia usar a soma à direita, ou qualquer outra soma de Riemann, que vai funcionar da mesma forma. Isso aqui vai ser integral definida indo de "a" até "b" de V(t)dt. Essa é uma forma de determinar a área abaixo da curva para a função velocidade, que será exatamente a variação da posição entre os tempos "a" e "b". Ou seja, o limite desta soma de Riemann quando "n" tende ao infinito é igual à integral definida indo de ''a" até "b" para V(t)dt. Conseguiu entender essas ideias? Vamos recapitular aqui. Nós já descobrimos antes, que a variação da posição entre "a" e "b" é isto aqui. Então, fica mais interessante, nós temos uma forma de avaliar esta integral definida. Conceitualmente, sabemos que isso aqui corresponde à variação da posição entre os pontos "a"e "b". Mas a gente descobriu uma forma de determinar exatamente a variação da posição entre os tempos "a" e "b". Então, vou escrever isso aqui. Temos que a integral definida entre "a" e "b" de V(t)dt é igual a S(b) - S(a). Sabemos que V(t) é a derivada de S(t)dt, então, podemos dizer que S(t) é a antiderivada de V(t). E essa definição, apesar de estar escrita de uma forma um pouco mais tradicional, eu usei posição e velocidade, é o segundo teorema fundamental do cálculo. Bem, e qual é o primeiro? Bem, a gente já falou sobre ele em outro vídeo. Esse é um modo muito útil de avaliar integrais definidas e de encontrar áreas abaixo de curvas. Agora porque o segundo teorema fundamental do cálculo é tão importante? Deixe-me reescrever esse teorema de uma forma mais genérica, da forma que você está mais acostumado a ver em seu livro de Cálculo. Bem, se queremos a área abaixo da curva entre os pontos "a" e "b" de f(x)dx, é esta notação aqui que nós vamos utilizar. Deixe-me desenhar isso aqui para ficar mais claro que eu estou falando em termos gerais. Essa aqui será a nossa f(x), e nós queremos a área abaixo da curva entre os pontos "a" e "b". Se queremos achar exatamente a área, nós podemos calcular antiderivada de "f". Vamos dizer então que F(x) é a antiderivada, ou uma antiderivada, porque você pode ter várias coisas diferenciadas apenas por constantes, então, teremos uma antiderivada de "F". Então, basta avaliar a antiderivada nos pontos finais e subtrair. Subtrair pela antiderivada avaliada no ponto inicial. Então, você tem "F(b) - F(a)". Assim, se buscamos a área exata abaixo da curva, basta calcular sua antiderivada avaliada no ponto final, e a partir daí, subtrair com a antiderivada avaliada no ponto inicial. Bem, eu espero que isso faça sentido para você, e nós vamos aplicar um pouco mais desse teorema nos próximos vídeos.