Propriedades das integrais definidas (sem gráfico): divisão do intervalo

RKA3JV - Seja a integral definida f(x) com os limites de integração indo de 1 até 4, sendo igual a 6. E a integral definida indo de 1 até 7 de f(x) / dx, sendo igual 11. Qual é a integral definida de f(x) com os limites de integração indo de 4 até 7? A primeira coisa que me vem à mente, quando eu vejo uma integral definida, é a área abaixo da curva no gráfico que relaciona f(x) com "x". Sabendo disso, eu vou traçar os nossos eixos "x" e "y" e plotar um gráfico aqui para visualizar essas ideias. Então, vamos lá! A gente pode começar traçando um gráfico. Aqui a gente vai ter o eixo "y", e aqui a gente tem o eixo "x". Como a nossa integral aqui vai de 1 até 7, em todos os três, a gente pode se preocupar no eixo "x" apenas com esses valores. Então, começando aqui no zero, depois 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 e só mais um. Vamos colocar o 8 aqui também. Então, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. 8 valores aqui no eixo "x". Claro que a gente não sabe o formato desta função. Então, por isso, eu vou fazer uma função arbitrária, uma função mais ou menos parecida com esta. Só para a gente ter uma ideia. Então, essa é a nossa função y = f(x). Ok! Nós temos aqui a integral indo de 1 até 4, e aqui a integral com os limites indo de 4 até 7. Então, essa primeira integral com os limites de 1 até 4 estaria mais ou menos aqui. Então, essa integral indica para a gente a área abaixo desta curva, neste intervalo. Então, para determinar esta área, bastaria calcular a integral indo de 1 até 4 de f(x) dx. E isso, obviamente, a gente já tem até um resultado aqui que é igual a 6. Então, essa integral indica para a gente a área abaixo desta curva que é igual a 6. Aqui, a gente tem uma outra integral também que vai dos limites de 4 até 7, certo? Então, a gente pode também determinar a área abaixo desta curva, nestes limites, neste intervalo indo de 4 até 7. Então, a gente tem aqui a integral indo de 4 até 7 de f(x) dx. Só que, neste caso aqui, a gente ainda não tem um valor, a gente não tem uma resposta, certo? A gente sabe que esta parte aqui tem uma área igual a 6, mas a gente não sabe quanto vale a área desta parte. No entanto, este problema já deu para a gente uma outra informação. O problema falou que a integral definida indo de 1 até 7 de f(x) dx = 11. E se a gente observar no gráfico da nossa função, esta integral aqui indica para a gente a área abaixo desta curva, neste intervalo que vai de 1 até 7. E aí, o problema até falou que toda esta área é igual a 11. Então, se a gente tem a integral vindo de 1 até 7, sendo igual a 11. E a integral de 1 até 4, sendo igual a 6, a gente consegue determinar a integral vindo de 4 até 7. Como? Utilizando as propriedades da soma de uma integral. Afinal, essa propriedade diz que a integral de f(x) com os limites de integração indo de 1 até 7 é igual à soma da integral de f(x) indo de 1 a 4, com a integral de f(x) indo de 4 a 7. Então, assim, nós podemos dizer que a integral com os limites de integração indo de 1 a 4 de f(x) dx mais a integral indo de 4 a 7 de f(x) dx é igual à integral indo de 1 até 7 de f(x) dx. Beleza? Isso é uma propriedade da integração. Sempre que a gente tem uma integral em um certo intervalo, isso vai ser igual à soma das integrais de cada um dos pequenos intervalos que tem neste intervalo maior. E a gente já tem a resposta para essas integrais, não temos? Então, esta integral aqui vale 6. A gente não tem a integral indo de 4 a 7. É o que nós estamos querendo encontrar, não é? Mas, a gente sabe que a integral indo de 1 a 7 é igual a 11. Quanto então vai valer esta integral aqui? A gente sabe que 6 mais alguma coisa tem que ser 11. Qual o número que somado a 6 vai ser 11? É 5, não é? Então, o resultado desta integral vai ser igual a 5. Afinal de contas, 6 + 5 = 11. Então, nós podemos dizer que a integral de f(x) dx com os limites de integração indo de 4 a 7 é igual a 5. Você poderia fazer isso de uma outra forma também, utilizando apenas a ideia de áreas e soma de áreas. Por exemplo, você sabe que toda esta área aqui é igual a 6. A nossa integral já está dizendo isso. A integral determina a área abaixo desta curva, então esta primeira área vale 6. A gente também sabe que toda esta área aqui, abaixo da curva, indo de 1 até 7, é 11. Então, toda esta área é 11. Sendo assim, quanto vale esta outra área? Se a gente sabe que a soma das duas áreas é 11 e que essa área vale 6, quanto vai valer esta área? Vai ser igual a 5. Afinal 6 + 5 = 11. Então, nós temos duas formas de determinar a integral definida desta função f(x), nestes limites de integração indo de 4 a 7. E esta resposta, como nós encontramos, é 5.