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Revisão do teorema fundamental do cálculo

Revise seus conhecimentos sobre o teorema fundamental do cálculo e utilize-os para resolver problemas.

Qual é o teorema fundamental do cálculo?

O teorema tem duas versões.

a) ddxaxf(t)dt=f(x)

Começamos com uma função contínua f e definimos uma nova função para a área sob a curva y=f(t):
F(x)=axf(t)dt
O que essa versão do teorema diz é que a derivada de F é f. Em outras palavras, F é uma primitiva de f. Assim, o teorema relaciona cálculo diferencial e integral, e nos diz como podemos encontrar a área sob uma curva usando antiderivação.

b) abf(x)dx=F(b)F(a)

Essa versão dá instruções mais diretas para encontrar a área sob a curva y=f(x) entre x=a e x=b. Simplesmente encontre uma primitiva F e calcule F(b)F(a).
Quer aprender mais sobre o teorema fundamental do cálculo? Dê uma olhada nesse vídeo.

Conjunto de exercícios 1: aplicação do teorema

Problema 1.1
g(x)=1x2t+7dt
g(9)=
  • Sua resposta deve ser
  • um número inteiro, como 6
  • um número decimal exato, como 0,75
  • uma fração própria simplificada, como 3/5
  • uma fração imprópria simplificada, como 7/4
  • um número misto, como 1 3/4

Quer tentar resolver mais problemas como esse? Dê uma olhada nesse exercício.

Conjunto de exercícios 2: aplicação do teorema com a regra da cadeia

Podemos usar o teorema em situações mais complicadas. Vamos descobrir, por exemplo, a expressão para ddx0x3sen(t)dt. Observe que o intervalo é entre 0 e x3, e não x.
Para nos ajudar, definimos F(x)=0xsen(t)dt. De acordo com o teorema fundamental do cálculo, F(x)=sen(x).
A partir de nossa definição, temos que 0x3sen(t)dt é igual a F(x3), o que significa que ddx0x3sen(t)dt é igual a ddxF(x3). Agora podemos usar a regra da cadeia:
=ddx0x3sen(t)dt=ddxF(x3)=F(x3)ddx(x3)=sen(x3)3x2
Problema 2.1
F(x)=0x4cos(t)dt
F(x)=

Quer tentar resolver mais problemas como esse? Dê uma olhada nesse exercício.

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