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Integral imprópria divergente

Às vezes, o valor de uma integral limitada é, bem, infinito. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA2G - Neste vídeo nós temos a função y = 1/x. Queremos saber, a partir do ponto 1 até o infinito, quanto vale esta área. Para calcularmos esta área, nós temos a integral de 1 até infinito de 1/x dx, que vai ser, por ser uma integral imprópria, o limite de "n" tendendo ao infinito, de 1 até "n" de 1/x dx. A antiderivada de 1/x vai ser o logaritmo natural do módulo de "x". Portanto, temos o limite de "n" tendendo ao infinito do logaritmo natural de "x" (o módulo de "x" aqui não importa muito, porque nós estamos pegando apenas o "x" positivo) entre 1 até "n". Ou seja, isto vai ser o limite de "n" tendendo ao infinito do logaritmo de "n" menos o logaritmo natural de 1. O logaritmo natural de 1 vai ser zero. Então, ficamos com o limite... Vou escrever aqui em cima. O limite de "n" tendendo ao infinito do logaritmo natural de "n". Nós sabemos que a função do logaritmo é uma função que vai crescendo o tempo todo, ou seja, isto aqui vai tender a infinito. Portanto, esta área é infinita. E, por esta área ser infinita, nós temos que esta integral é divergente. E terminamos!