Reescrita antes da integração: desafio

[RKA20C] Nosso objetivo neste vídeo é tirar a antiderivada desta expressão estranha aqui. Uma outra forma de dizer é que a gente vai tirar a derivada indefinida desta expressão. E a chave para a gente conseguir fazer isso é perceber que esta expressão é feita de vários termos. Então, a integral indefinida da expressão como um todo vai ser o quê? Ela vai ser igual à soma da integral indefinida de cada um desses termos. Então, vamos pegar este primeiro termo aqui, tirar a integral indefinida de 7x³ dx e, depois disso, a gente pode subtrair a integral indefinida disto aqui. Então, a gente pode colocar aqui menos integral indefinida de 5√x dx. Aí, a gente vem para esta outra aqui, e a gente pode colocar mais integral indefinida de 18√x / x³ dx. Finalmente, a gente vai pegar este último termo aqui e tirar a integral indefinida dele. Então, mais integral indefinida de x⁻⁴⁰ dx. Agora que já fizemos isso, vamos tirar integral indefinida de cada um desses termos. Para fazer isso, a gente vai usar a regra do inverso do expoente. Então, vamos ver o primeiro termo aqui. Vamos fazer assim: eu vou tirar a integral indefinida do x e colocar a constante depois. Aqui, no caso, o expoente do x é 3. Então, a gente vai somar 1, e vai ficar x⁴ dividido por 4. Então, aqui ficou x⁴/4, que é a antiderivada de x³, e este 7 aqui, a gente só mantém e desce. Então, a gente ficou com 7x⁴/4. Agora, vamos ver o segundo: vamos colocar menos a antiderivada disto aqui. Olhando assim, de cara, pode parecer que não dá para a gente usar a regra do inverso do expoente. Mas é só a gente lembrar que 5 . √x, então, isto aqui, é a mesma coisa que 5 . x¹/². Agora, fica mais fácil para a gente aplicar a regra. O expoente aqui é ½, então, a gente adiciona 1, e vai ficar x³/². Aí, a gente vai dividir pelo mesmo valor, então, vai ser dividido por 3/2, e a gente mantém o 5 que estava ali na frente. O próximo termo aqui parece ainda mais confuso. Mas dá para a gente simplificá-lo, também. Então, vamos lá! Isto aqui é a mesma coisa que 18x¹/² . x⁻³. O x³ aqui, no denominador, é a mesma coisa que o x⁻³ no expoente. Agora, como estes dois aqui têm a mesma base, a gente pode somar os expoentes. Então, vai ficar 18 . x²/². Outro jeito de a gente escrever isso seria 18 . x⁵/². Vamos conferir aqui: - 3... Nossa, desculpa! Aqui vai ser -2/2 e -5/2. Agora, ficou certinho! Então, vamos lá. O que a gente tem que fazer é pegar o nosso expoente, este -5/2, acrescentar 1 e colocar lá embaixo. Então, -5/2 + 1 vai ficar: x⁻³/² dividido por -3/2, e o 18, a gente mantém. Claro que depois vai precisar simplificar aqui. Por último, a gente tem o nosso último expoente aqui, -40. Então, a gente vai somar 1: vai ficar x⁻³⁹/-39. Agora, a gente pode adicionar a nossa constante. E o que falta é só simplificar estes termos aqui. Então, o primeiro é mais fácil: vai ficar 7/4 . x⁴. O segundo vai ficar 5 dividido por 3/2, que é a mesma coisa... Olha: 5 dividido por 3/2 é a mesma coisa que 5 . ⅔, que vai ser a mesma coisa que 10/3. Então, isso tudo vai ser -10/3 . x³/². O terceiro termo vai ser bem parecido: a gente tem aqui 18 dividido por -3/2, que vai ser a mesma coisa que 18 . -2/3 Aqui, dá para a gente simplificar esse 18 com 3. Então, vai ficar: 18/3 = 6, e este 3 vai ser 1. Aí, vai ser a mesma coisa que 6 . -2, que vai dar -12. Então, a gente vai ficar aqui com -12 . x⁻³/². Este último aqui, a gente pode reescrever como -1/39 . x⁻³⁹. Aí, a gente acrescenta aqui a nossa constante. E acabou! A gente conseguiu tirar a antiderivada desta loucura aqui. Eu encorajo vocês a tirarem a derivada desse resultado ao qual a gente chegou, e conferirem que vai dar mesmo essa expressão inicial com a qual a gente começou.