Gráficos de integrais indefinidas

RKA3JV - Determine a integral indefinida geral de 2x dx. Qual dos gráficos mostrados abaixo possui várias formas de representá-la? Primeiro, vamos ver qual é a integral de 2x dx. Pegamos a antiderivada, isto será 2x. Vamos acrescentar 1 no expoente e dividir por 2. O que fica igual a x². Mas esta é uma solução que não contempla a solução geral, pois para contemplar a solução geral, nós temos que somar uma constante. Pois, ao derivarmos a função x² mais uma constante, ficamos com 2x e a constante desaparece. Então, várias curvas têm a mesma derivada, pois uma constante não influencia na taxa de variação de x². Então, se desenharmos o gráfico de "y" em relação a "x", nós sabemos que a primeira solução que nós colocamos foi x². E, realmente, esta é uma solução. E nós temos aqui a curva x². Isto aqui é y = x². Mas esta integral não tem apenas esta solução. Esta integral tem esta solução mais a constante, que pode ser qualquer constante. Ela pode ser uma constante positiva ou ela pode ser uma constante negativa. Portanto, uma solução seria, por exemplo, se esta constante fosse igual a 5. Então, teríamos esta integral como solução. Ou seja, esta curva seria y = x² mais a constante. Cuja constante seria 5. E será que esta constante poderia ser negativa? Com certeza! Ela poderia ser -5. E aí, nós teríamos a mesma integral. Ou seja, a mesma inclinação cuja a derivada seria 2x para qualquer valor de "x". Só que ela está deslocada para baixo em 5 unidades, enquanto que essa está deslocada para cima em 5 unidades. Com isso, nós temos infinitas soluções. Se nós colocarmos qualquer outra constante que pode ser até uma constante irracional ou não. Todas estas são soluções. Ou seja, na realidade, a integral de 2x dx vai ser x² mais uma constante "c" que nós não sabemos que constante é essa. Portanto, o gráfico "B" representa um conjunto de soluções que são plausíveis. Todas estas curvas têm a derivada igual a 2x.