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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 4
Lição 2: Introdução às integrais indefinidas- Regra da potência reversa
- Regra da potência reversa
- Regra da potência reversa: potências fracionárias e negativas
- Reescrita antes da integração: desafio
- Regra da potência reversa: somas e multiplicações
- Como determinar visualmente a primitiva
- Gráficos de integrais indefinidas
- Revisão da regra da potência reversa
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Como determinar visualmente a primitiva
Dado o gráfico de uma função, você consegue identificar o gráfico da sua primitiva? Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA4JL - E aí, pessoal!
Tudo bem? Digamos que aqui eu tenha
o gráfico de uma função f(x) e suponha que você
tenha uma função F(x), que se você calcular
a derivada dessa função F, isso vai ser igual a f(x). Sabendo disso, qual desses
é o gráfico de F(x)? E claro, eu sugiro que você pause
o vídeo e tente resolver isso sozinho. Ok, vamos lá. Se essa curva
é a derivada de uma dessas funções, isso significa que todo o valor de x está
descrevendo a taxa de variação instantânea, ou seja, a inclinação da reta tangente
de qualquer uma dessas possíveis F(x). Então, vamos observar algumas
coisas de desse gráfico, ou seja, o que sabemos de f(x), que é a
derivada de uma dessas funções? Sabemos que ela é
sempre positiva, ou seja, tem uma assíntota passando por zero
à medida que vamos para o infinito negativo. Basicamente, essa curva
nunca vai ficar negativa. Portanto, a inclinação da candidata
deve ser sempre positiva. Observe que a inclinação aqui é positiva,
aqui também é positiva, aqui também, ou seja, à medida que estamos
aumentando x, y está aumentando, mas nesse caso
a inclinação é negativa. Portanto, esse gráfico
está descartado. Bem, isso aqui nos diz
a inclinação da reta tangente, então, por exemplo,
quando x é igual a -4, a função está bem próxima de zero,
ou seja, é quase zero. Isso nos diz que a inclinação
da reta tangente a F(x) deve ser bem próxima de zero
quando x for igual a -4. Veja bem: quando x é igual a -4, a reta tangente está aqui
e não está próxima de zero, ou seja, essa inclinação parece
mais próxima de 1, mas não é zero. Portanto, essa aqui está descartada. Nesse gráfico, quando x é igual a -4,
a reta tangente parece ser zero e a mesma coisa acontece aqui. Quando x é igual a -4, a inclinação
da reta tangente parece ser zero, ou seja, o gráfico de f(x) pode
ser qualquer uma dessas duas. Então nós temos que continuar analisando. Quando x é igual a zero,
a inclinação é igual a 1. Veja bem: quando x é igual a zero,
f(x) tem valor igual a 1. Portanto, em razão de F(x),
a inclinação da reta tangente tem que ser próxima de 1
quando x é igual a zero. Nesse primeiro gráfico,
quando x é igual a zero, a reta tangente parece
ser menor do que 1, não é? Com toda a certeza não é 1. Agora, nesse gráfico,
quando x é igual a zero, a inclinação da reta tangente
parece bem próxima de 1. Portanto, esse aqui é o melhor
candidato a ser gráfico de F(x). Então esse aqui é o gráfico de F(x). Esse é aquele momento em que
provavelmente você está se perguntando: "Espere aí, esses dois gráficos
não são o mesmo?" De fato, eles parecem ser idênticos, e é nessa hora que você pode
lembrar das ideias de derivadas. Esses dois gráficos se parecem
com a função exponencial básica. E lembrando que eu não pedi para
encontrar qual era a função. Eu perdi apenas qual seria a
possível antiderivada da função, ou seja, você pode dizer
que f(x) é a derivada de F(x) ou que é F(x) é a antiderivada de f(x). Quando achar a lei de definição
de ambas as funções, você vai ver que será eˣ. isso porque a derivada
de eˣ é o próprio eˣ. Por isso, esses gráficos são idênticos. Eu espero que essa aula tenha
ajudado vocês e até a próxima, pessoal!