Somas de ponto médio e trapezoidais em notação de somatório

RKA1JV - Nos últimos vídeos, nós estivemos aproximando a área sob a curva usando retângulos onde a altura de cada retângulo foi definida pela função calculada no limite esquerdo. Esse seria o primeiro retângulo, seria o primeiro retângulo, e o segundo retângulo se pareceria com algo assim. Vamos até o enésimo retângulo, que se parece com isso aqui. Esse aqui é o primeiro retângulo, esse é o segundo e esse é o enésimo retângulo. E nós vimos que a maneira como você calcula a soma de todos esses retângulos para poder estimar a área é obter a soma para "i =1" até "i = n". E, essencialmente, o índice do retângulo que estamos usando. O que vamos fazer é multiplicar a altura vezes a base, por exemplo, altura do retângulo 1, neste caso, é a função calculada em x₀. E a altura do retângulo 2 vai ser a função calculada x₁. E a altura do retângulo "n" vai ser a função calculada em xₙ menos 1. A largura de um retângulo "i" será a função calculada em xᵢ menos 1. Se "i" for 2, então estamos calculando em x₁. Se "i" for 2, então essa seria a função calculada em x₁. É o limite esquerdo, então temos que multiplicá-la pela largura. Neste vídeo, vamos assumir que todos os retângulos têm a mesma largura, agora, chamaremos essa largura comum de Δx. Para encontrá-la, temos somente que obter a distância total que se estende pela direção "x". Será "b" menos "a" dividido pelo número de retângulos que queremos, logo, será vezes Δx. Agora você pode imaginar que essa não é a única maneira de fazer essa soma usando retângulos. Ou que essa não é a única maneira de fazer a soma ou aproximar da área usando algum tipo de forma geométrica. Por exemplo, nós poderíamos ter criado retângulos onde a altura é definida pelo limite direito, então vamos fazer isso. Aqui está. O primeiro retângulo, nosso primeiro retângulo, e nós estamos definindo altura pelo limite do lado direito do retângulo. Esse aqui vai ser nosso retângulo 1, sua altura f(x₁), então, para esse aqui, nós usamos o limite direito. O limite direito define essa altura, se nós formos até o retângulo 2, se nós formos até esse aqui, que é o enésimo retângulo, nós usamos o limite direito para definir a altura desse retângulo. Neste caso, como nós deveríamos escrever essa soma? Lembre-se que é somente a aproximação da área abaixo da curva de "i" igual a 1 até "n". O "i" é o contador de cada um dos retângulos e altura do primeiro retângulo é f(x₁). E altura do enésimo retângulo vai ser f(xₙ). Essa altura logo aqui é f(xₙ) e a altura do iésimo retângulo será f(xᵢ). E qualquer que seja o número do retângulo, iremos usar o "x" que tem o mesmo número e calcular a função ali. Isso nos dá a altura e vamos multiplicar isso vezes Δx. A diferença entre este e esse aqui para o iésimo retângulo, usamos "i" menos 1, limite esquerdo. Aqui nós usamos o limite direito f(xᵢ). Nós não temos que parar por aqui, em vez disso, nós talvez poderíamos usar o ponto médio entre esses dois limites. Por exemplo, logo aqui, nós poderíamos usar o ponto médio entre x₀ e x₁ para encontrar a altura do retângulo. Ele está logo aqui, esse aqui é o f(x₀) mais x₁ sobre 2, que é somente o ponto médio entre esses dois pontos para definir a altura do retângulo. Então, se pareceria com algo assim. Para o próximo, nós procuraremos pelo ponto médio para definir a altura, e nós vamos fazer isso até o enésimo retângulo. E nós definimos o ponto médio entre os dois lados do retângulo, a função avaliada nos diz o quão alto nosso retângulo deveria ser. Vai dizer o quão alto nosso retângulo deveria ser, se parecia com algo assim. Como seria a soma? Bom, mais uma vez, nós contaríamos cada um dos retângulos. Então "i" igual a 1 até "n", "i" é o índice de cada retângulo que trabalhamos. É o primeiro, segundo, enésimo, a altura não será somente "f" calculado em xᵢ menos 1 ou "f" calculado em xᵢ. Essa será a função calculada no ponto médio entre esses dois, xᵢ menos 1, mais xᵢ, e tudo isso sobre 2, então vezes Δx. Os Δx são os mesmos para cada um desses cenários. Agora, finalmente vamos tentar parar a aproximação com retângulos e ser um pouco mais criativos. Por que não tentamos fazer a aproximação com trapézios? Vamos tentar fazer isso. O que poderemos fazer aqui é a parte esquerda do trapézio, a altura é f(x₀), então, isso aqui é f(x₀). Então o lado direito do trapézio vai ser f(x₁), então, este aqui é f(x₁). E, agora, esse aqui é o nosso primeiro trapézio. Vou fazer o segundo trapézio agora. Está parecendo um retângulo, mas vamos assumir que o topo não é completamente plano. Então, é um trapézio, e vamos assim até o enésimo trapézio. E deveria estar claro que estamos fazendo trapézios. O enésimo trapézio se parece com isso. Como calcularíamos essa área? A área do trapézio? Você somente tem que lembrar que a área do trapézio é a média das alturas dos dois lados vezes a base. Nesse caso, deixe-me escrever isso aqui. Esta área bem aqui vai ser a média das alturas, que será o f(x₀) mais o f(x₁). Tudo isso aqui sobre 2. Vamos pegar isso e multiplicar por Δx que é nossa altura, essa seria a área apenas para esse trapézio aqui. Nós usamos a média das alturas e, então, multiplicamos pela base. Agora, se nós quiséssemos ter a soma das áreas de todos esses trapézios e escrevê-las em termos gerais, poderíamos também escrever que é a soma de "i" igual 1, vamos numerar aqui, é 1, 2, e o enésimo, isso será igual "i" a igual 1 até "i" igual a "n". E para a altura de cada trapézio, nós usaremos a função calculada no limite esquerdo. xᵢ -1, a média da função calculada no limite esquerdo e a função calculada no limite direito. Iremos calcular a média disso e multiplicar pela base. Por fim, o motivo por qual quis fazer isso é para mostrar para você que há muitas maneiras de se resolver. Se quisesse generalizar bastante, poderia fazer isso com diferentes larguras, mas ficaria um pouco confuso. Fiz somente isso para mostrar que você pode ver uma notação bonita no livro de cálculo ou de pré-cálculo. Mas, no fim, tudo o que eles fazem é somar as áreas de trapézios e retângulos. Isso vai depender se eles usam o limite direito para definir a altura, o limite esquerdo, ou o ponto médio entre os limites direito e esquerdo.