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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 4
Lição 10: Regra do trapézioSomas de ponto médio e trapezoidais em notação de somatório
Estimar a área sob uma curva com trapézios em vez de retângulos pode dar uma aproximação mais próxima. Versão original criada por Sal Khan.
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Transcrição de vídeo
RKA1JV - Nos últimos vídeos,
nós estivemos aproximando a área sob a curva usando retângulos onde a altura de cada
retângulo foi definida pela função calculada no limite esquerdo. Esse seria o primeiro retângulo, seria o primeiro retângulo, e o segundo retângulo se pareceria
com algo assim. Vamos até o enésimo retângulo,
que se parece com isso aqui. Esse aqui é o primeiro retângulo, esse é o segundo e esse
é o enésimo retângulo. E nós vimos que a maneira
como você calcula a soma de todos esses retângulos
para poder estimar a área é obter a soma para "i =1" até "i = n". E, essencialmente, o índice do retângulo
que estamos usando. O que vamos fazer é multiplicar
a altura vezes a base, por exemplo, altura do retângulo 1,
neste caso, é a função calculada em x₀. E a altura do retângulo 2
vai ser a função calculada x₁. E a altura do retângulo "n" vai ser a função calculada em xₙ menos 1. A largura de um retângulo "i" será a função calculada em xᵢ menos 1. Se "i" for 2, então estamos
calculando em x₁. Se "i" for 2, então essa seria a função calculada em x₁. É o limite esquerdo, então temos que multiplicá-la
pela largura. Neste vídeo, vamos assumir que todos
os retângulos têm a mesma largura, agora, chamaremos essa
largura comum de Δx. Para encontrá-la, temos somente
que obter a distância total que se estende pela direção "x". Será "b" menos "a" dividido pelo
número de retângulos que queremos, logo, será vezes Δx. Agora você pode imaginar que essa
não é a única maneira de fazer essa soma usando retângulos. Ou que essa não é a única
maneira de fazer a soma ou aproximar da área usando
algum tipo de forma geométrica. Por exemplo, nós poderíamos ter criado retângulos onde a altura
é definida pelo limite direito, então vamos fazer isso. Aqui está. O primeiro retângulo,
nosso primeiro retângulo, e nós estamos definindo altura pelo limite do lado direito do retângulo. Esse aqui vai ser nosso retângulo 1, sua altura f(x₁), então, para esse aqui, nós usamos o limite direito. O limite direito define essa altura, se nós formos até o retângulo 2, se nós formos até esse aqui,
que é o enésimo retângulo, nós usamos o limite direito para definir a altura desse retângulo. Neste caso, como nós deveríamos
escrever essa soma? Lembre-se que é somente
a aproximação da área abaixo da curva de "i" igual a 1 até "n". O "i" é o contador de
cada um dos retângulos e altura do primeiro retângulo é f(x₁). E altura do enésimo retângulo
vai ser f(xₙ). Essa altura logo aqui é f(xₙ) e a altura do iésimo retângulo será f(xᵢ). E qualquer que seja o número do retângulo, iremos usar o "x" que tem o mesmo número e calcular a função ali. Isso nos dá a altura e vamos
multiplicar isso vezes Δx. A diferença entre este e esse aqui
para o iésimo retângulo, usamos "i" menos 1, limite esquerdo. Aqui nós usamos o limite direito f(xᵢ). Nós não temos que parar por aqui, em vez disso, nós talvez poderíamos usar
o ponto médio entre esses dois limites. Por exemplo, logo aqui, nós poderíamos usar
o ponto médio entre x₀ e x₁ para encontrar a altura do retângulo. Ele está logo aqui, esse aqui é o f(x₀)
mais x₁ sobre 2, que é somente o ponto médio entre esses dois pontos para
definir a altura do retângulo. Então, se pareceria com algo assim. Para o próximo, nós procuraremos pelo ponto
médio para definir a altura, e nós vamos fazer isso
até o enésimo retângulo. E nós definimos o ponto médio
entre os dois lados do retângulo, a função avaliada nos diz o quão
alto nosso retângulo deveria ser. Vai dizer o quão alto nosso
retângulo deveria ser, se parecia com algo assim. Como seria a soma? Bom, mais uma vez, nós contaríamos
cada um dos retângulos. Então "i" igual a 1 até "n", "i" é o índice de cada
retângulo que trabalhamos. É o primeiro, segundo, enésimo, a altura não será somente "f" calculado em xᵢ menos 1 ou "f" calculado em xᵢ. Essa será a função calculada
no ponto médio entre esses dois, xᵢ menos 1, mais xᵢ, e tudo isso sobre 2,
então vezes Δx. Os Δx são os mesmos para
cada um desses cenários. Agora, finalmente vamos tentar
parar a aproximação com retângulos e ser um pouco mais criativos. Por que não tentamos fazer
a aproximação com trapézios? Vamos tentar fazer isso. O que poderemos fazer aqui
é a parte esquerda do trapézio, a altura é f(x₀),
então, isso aqui é f(x₀). Então o lado direito do trapézio
vai ser f(x₁), então, este aqui é f(x₁). E, agora, esse aqui é o nosso
primeiro trapézio. Vou fazer o segundo trapézio agora. Está parecendo um retângulo, mas vamos assumir que o topo
não é completamente plano. Então, é um trapézio, e vamos assim até o enésimo trapézio. E deveria estar claro que
estamos fazendo trapézios. O enésimo trapézio se parece com isso. Como calcularíamos essa área?
A área do trapézio? Você somente tem que lembrar que a área do trapézio
é a média das alturas dos dois lados vezes a base. Nesse caso, deixe-me escrever isso aqui. Esta área bem aqui vai ser a média das alturas, que será o f(x₀) mais o f(x₁). Tudo isso aqui sobre 2. Vamos pegar isso e multiplicar
por Δx que é nossa altura, essa seria a área apenas
para esse trapézio aqui. Nós usamos a média das alturas e, então, multiplicamos pela base. Agora, se nós quiséssemos ter a soma
das áreas de todos esses trapézios e escrevê-las em termos gerais, poderíamos também escrever
que é a soma de "i" igual 1, vamos numerar aqui,
é 1, 2, e o enésimo, isso será igual "i" a igual 1 até "i" igual a "n". E para a altura de cada trapézio, nós usaremos a função
calculada no limite esquerdo. xᵢ -1, a média da função calculada
no limite esquerdo e a função calculada no limite direito. Iremos calcular a média disso
e multiplicar pela base. Por fim, o motivo por qual quis fazer isso é para mostrar para você que
há muitas maneiras de se resolver. Se quisesse generalizar bastante, poderia fazer isso
com diferentes larguras, mas ficaria um pouco confuso. Fiz somente isso para mostrar que você pode ver uma notação
bonita no livro de cálculo ou de pré-cálculo. Mas, no fim, tudo o que eles fazem é somar as áreas
de trapézios e retângulos. Isso vai depender se eles
usam o limite direito para definir a altura, o limite esquerdo, ou o ponto médio entre os limites direito e esquerdo.