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Integração por partes: ∫x⋅cos(x)dx

Exemplo resolvido do cálculo de uma integral usando uma aplicação direta da integração por partes. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA4JL - No último vídeo aleguei que esta fórmula poderia ser útil para resolver ou para descobrir a antiderivada de uma série de funções. Vamos ver se esse realmente é o caso. Digamos que eu quero pegar a antiderivada de x vezes cos x dx. Agora, se olhar para essa forma bem aqui, você pretende atribuir parte desse f(x) e uma parte para g'(x). Então a questão é: eu atribuo f(x) para x e g'(x) para cos x, ou o contrário? Para entender é preciso olhar para outra parte da fórmula e perceber que você vai ter que resolver isso bem aqui. Aqui onde nós temos a derivada de f(x) vezes f(x), o que temos que fazer é atribuir f(x), assim como a derivada de f(x) e é, na verdade, mais simples que f(x) e atribuir g'(x), que se você tivesse que pegar essa antiderivada, não ficaria mais complicado. Então, nesse caso, se atribuirmos f(x) para ser igual a x, f'(x) é definitivamente mais simples. f'(x) é igual a 1. Se atribuirmos g'(x) para ser cosseno x, mais uma vez se nós pegamos essa antiderivada de seno x, não é mais complicado. Se fizemos ao contrário, se definimos f(x) para ser cos x, então pegamos essa derivada aqui. Isso não é complicado, mas se definimos g'(x) igualando x e então tivermos que pegar a antiderivada, pegamos x² sobre 2, que é mais complicado. Deixe-me fazer isso claramente, bem aqui. Estamos atribuindo f(x) para ser igual a x. Isso significa que a derivada de f vai ser igual a 1. Estamos atribuindo que (deixe-me escrever bem aqui) g'(x) vai ser igual ao cos x, o que significa que g(x) é igual ao sen x, a antiderivada do cos x. Agora vamos ver, dados esses pressupostos, vamos ver se podemos aplicar essa fórmula. Portanto, essa fórmula tem tudo isso. Ao lado direito diz f(x) vezes g(x), então f(x) é x, g(x) é sen x e depois disso vamos subtrair a antiderivada de f'(x). Isso é apenas 1 vez g(x) vezes seno... Então 1 vez sen x dx. Isso foi uma grande simplificação. Eu tentei resolver a antiderivada de x cos x, e agora só tenho que achar a antiderivada de sen x. Conhecemos a antiderivada de sen x dx. É igual ao cosseno negativo de x. E claro, podemos jogar o mais C nisso agora que estamos prontos com todas as antiderivadas. Tudo isso vai ser igual a x sen x menos a antiderivada disso, que é apenas cosseno negativo de x. Então podemos jogar um mais C bem ao final disso. Não importa se não subtraímos um C ou não somarmos um C. Dizemos que isso é alguma coisa constante e arbitrária que não pode ser negativa. Então tudo vai ser igual a... Rufem os tambores... Isso é x vezes sen x, diminui um negativo, que se torna positivo, mais cos x mais C. E terminamos. Pegamos a antiderivada de algo que nós não sabíamos antes como pegar a antiderivada. Isso é muito interessante.