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Integração por partes: ∫𝑒ˣ⋅cos(x)dx

Exemplo resolvido do cálculo de uma integral indefinida aplicando duas vezes a integração por partes e, então, obtendo uma equação para a integral indefinida desejada. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

RKA3JV - Neste vídeo, vamos ver algumas propriedades da derivada e aplicarmos em integrais. Vamos supor que você tenha duas funções multiplicadas, f(x) vezes g(x). Se você quiser tirar a derivada em relação a "x", você vai ter a derivada da primeira vezes a segunda, mais a primeira vezes a derivada da segunda. Vamos, agora, integrar de ambos os lados. Ficamos com f(x) g(x), igual à integral de f'(x) g(x) dx, mais a integral de f(x) g'(x) dx. Vamos esquecer, por enquanto, as constantes. Vamos passar este termo para cá, subtraindo. Portanto, ficamos com a integral de f(x) g'(x) dx vai ser igual a f(x) g(x) menos a integral de f'(x) g(x) dx. Vamos ver se conseguimos aplicar esta propriedade em uma integral que queremos saber o resultado. Vamos supor que queremos integrar "e" elevado a "x" cosx dx. Ora, podemos chamar o f(x) de eˣ. E, obviamente, o f'(x) que é derivada, vai ser "e" elevado a "x". O nosso g'(x) é cosx. Então, nós temos g'(x) = cosx. Portanto, nosso g(x) vai ser igual ao nosso senx. Agora, vamos expandir, f(x) é "e" elevado a "x", g(x) é senx, menos a integral de f'(x) é "e" elevado a "x" e g(x) é senx, tudo "dx". Ainda não dá para simplificar esta expressão, mas podemos aplicar novamente esta propriedade para esta integral. Nós temos a integral de "e" elevado a "x" senx dx. Ora, podemos chamar f(x) de "e" elevado a "x". Obviamente, f'(x) vai ser a derivada, que vai ser "e" elevado a "x". O nosso g'(x) é senx. Então, nós temos que g'(x) = senx. Portanto, nosso g(x) vai ser igual a -cosx. Então, esta integral fica f(x) vezes g(x). f(x) é "e" elevado a "x". g(x) é -cosx. Menos, a integral de f'(x) é "e" elevado a "x", vezes g(x) é -cosx, tudo "dx". Podemos substituir esta expressão aqui. Ou seja, pegamos tudo isso aqui e jogamos nesta expressão. O que é que nós vamos ter? Nós temos que a integral de "e" elevado a "x" cosx dx, vai ser igual a "e" elevado a "x" senx, menos toda esta expressão aqui. Aqui é menos com menos, vai dar mais. Portanto, vai dar mais "e" elevado a "x" cosx. Aqui nós temos menos com menos, dá mais, com menos dá menos. Portanto, vamos ter menos a integral de "e" elevado a "x" cosx dx. Agora, temos duas parcelas bem parecidas. A gente pode passar para cá somando, temos 2 vezes a integral de "e" elevado a "x" cosx dx é igual a "e" elevado a "x" senx, mais "e" elevado a "x" cosx. Então, temos a integral de "e" elevado a "x" cosx dx, que é a integral que nós queríamos fazer, é igual a 1/2 de "e" elevado a "x" senx, mais "e" elevado a "x" cosx. Ainda podemos colocar em evidência o "e" elevado a "x". Então, temos que a integral de "e" elevado a "x" cosx dx vai ser igual a "e" elevado a "x" sobre 2, vezes o senx + cosx. Ora, esta expressão é bastante interessante. Eu passei a integral desta outra expressão. Obviamente, vamos soma mais uma constante "c" que tinha faltado. Espero que este vídeo tenha sido útil.