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Integração por partes: ∫x²⋅𝑒ˣdx

Exemplo resolvido do cálculo de uma integral indefinida, em que a integração por partes é aplicada duas vezes. Versão original criada por Sal Khan.

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Transcrição de vídeo

Vejamos se conseguimos tomar a anti-derivada do quadrado de x vezes e elevado a x, dx Agora, o segredo é reconhecer quando você pode ao menos tentar usar a integração por partes. Pode ser meio óbvio porque este vídeo é sobre integração por partes. Mas o segredo de quando a integração por partes pode ser utilizada é perceber quando tenho uma função que é o produto de duas outras funções - neste caso, quadrado de x e e elevado a x. A integração por partes pode ser útil se eu puder tomar a derivada de uma das funções, e tudo fica mais simples. E se eu tomar a anti-derivada da outra, fica menos complicado. Então, neste caso, se tomarmos a anti-derivada de x ao quadrado, ficará mais simples Será igual a 2x. Tomando a anti-derivada de e elevado a x ela ficará ainda menos complicada. Então vamos designar f de x sendo igual a x ao quadrado. Queremos que ela seja a parte que, ao tomarmos sua derivada, ficará mais simples. Porque eu vou tomar a derivada de f de x aqui na fórmula de integração por partes. Vamos designar g linha de x sendo igual a e elevado a x Porque depois tomaremos sua anti-derivada, e a anti-derivada de e elevado a x, continua sendo e elevado a x. Então deixe-me escrever isso. Estamos falando que f de x- farei isto bem aqui- f de x é igual a x quadrado, e f linha de x é igual a 2x. Não estou preocupado com constantes agora. Colocaremos as constantes no final, para certificar que a anti-derivada esteja na sua forma mais genérica. E então g linha de x é igual a e elevado a x, o que significa que a sua anti-derivada, g de x, é também igual a e elevado a x. Agora estamos prontos para cuidar do lado direito logo aqui. Então tudo isso aqui será igual a f de x, que é x quadrado - vou escrever tudo aqui embaixo- x ao quadrado vezes g de x, que é e elevado a x, menos - vou fazer na cor amarela. Quero que as cores coincidam - menos a anti-derivada de f linha de x. Bem, f linha de x é 2x, vezes g de x, g de x é e elevado a x dx. Você pode dizer, ei Sal, nós ficamos com outra anti-derivada, outra integral indefinida logo aqui. Como vamos resolver isso? E como você pode imaginar, o segredo pode ser a integração por partes novamente. Estamos progredindo. Essa aqui é uma expressão mais simples do que essa. Veja que fomos capazes de reduzir o grau de x ao quadrado. É agora só 2x. E o que podemos fazer para simplificar mais, Já que 2 é um módulo, uma constante que está multiplicando a função, podemos tirá-la do sinal de integração. Vamos fazer deste jeito. Vou reescrever assim. Nós só podemos fazer isso com constantes que estão multiplicando a função. Vou colocar o 2 aqui. E agora o que nos interessa é encontrar a integral- deixe-me escrever aqui- a integral de x vezes e elevado a x dx. E isso é outro problema de integração por partes. Então vamos aplicar os mesmos princípios de integração por partes. O que ficará mais simples quando tomarmos a derivada? Bom, x ficará mais simples ao tomarmos sua derivada. Então, em termos de integração por partes, vamos redefinir f de x como sendo igual a x. E então nós ainda teremos g linha de x sendo igual a e elevado a x E neste caso, deixe-me escrever tudo isso. f de x é igual a x. f linha de x é igual a 1. g linha de x é igual a e elevado a x, g de x, é só a anti-derivada disso, que é igual a e elevado a x. Então vamos integrar por partes novamente. Então isso será igual a f de x vezes g de x Agora f de x é x g de x é e elevado a x, menos a anti-derivada de f linha de x-- isso é igual a 1 vezes g de x-- e elevado a x. Isso é 1 vezes e elevado a x dx. E lembre-se, tudo que estou fazendo aqui, você pode ter se perdido, só estou focado nesta anti-derivada. Aquela anti-derivada é esta anti-derivada aqui. Se podemos entender qual é, então podemos substituir na expressão original. Agora, você pode apreciar a integração por partes. O que isso aqui simplifica? Qual é a anti-derivada de 1 vezes e elevado a x dx? Ou, qual é a anti-derivada de 1 vezes e elevado a x? Bom, é só a anti-derivada de e elevado a x, que é igual a e elevado a x. Então isso se simplifica para x vezes e elevado a x, menos a anti-derivada de e elevado a x, que é e elevado a x, então, menos e elevado a x. E podemos pegar isso e substituir de volta. Isto é a anti-derivada disto. Então, podemos substituir de volta aqui para entender qual é a anti-derivada da expressão original. Então a anti-derivada da expressão original, estamos chegando bem perto, será igual a - usarei cores diferentes para podermos entender o que acontece. Será igual a x quadrado vezes e elevado a x, menos 2 vezes tudo isso aqui. Então, menos 2 vezes - bem, esta anti-derivada nós descobrimos agora - menos 2 vezes x vezes e elevado a x, menos e elevado a x. E se quisermos, agora é uma boa hora de colocar o mais C. E é claro, podemos simplificar isso. Isto é igual a x ao quadrado- gosto de manter as mesmas cores- Isto é igual a x ao quadrado vezes e elevado a x. Você multiplica esses termos por menos 2. Ficamos com menos 2 vezes x vezes e elevado a x, mais 2 vezes e elevado a x, e finalmente, mais C E acabamos. Descobrimos a anti-derivada do que parecia ser uma expressão cabeluda usando a integração por partes duas vezes. Legendado por [ Luiz Pasqual ] Editado por Maria Oberlander