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Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017)
Curso: Cálculo, conteúdo completo (edição de 2017) > Unidade 5
Lição 5: Integração usando identidades trigonométricasIntegral de cos^3(x)
Uma forma especializada de integração por substituição envolve tirar proveito das identidades trigonométricas.
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- Sal... I used udv substitution, when I make Cos^2(x)=u and cosx=dv, then we have
solve=cos^2(x)sinx-int(sinx2cosxdx)=cos^2(x)sinx-int(sin2xdx)=cos^2(x)sinx+cos2x/2 +c, this is equivalent or do I make some mistake in the process?(1 voto)- Essa estratégia foi atrapalhada. Você acabou esquecendo do sinal quando calculou seu du. Ficaria, sen(x)Cos^2(x)+2int(cos^3(x)sen(x))dx. Só que repara que antes você tinha a integral de cos^3x e agora tem a integral de 2cos^3sen(x). Piorou. Em algumas vezes aparece algo bom mas nessa você não sorriu(1 voto)
Transcrição de vídeo
RKA14C Vamos ver se podemos pegar
a integral indefinida de cosseno de x³. Eu peço que agora pause o vídeo
e veja se você consegue resolver sozinho. Assumindo que você pausou,
acho que alguns conseguiram, mas outros devem ter ficado travados... Vamos pensar sobre isso. Ok, cosseno elevado a 3. Se eu tinha somente
a derivada do cosseno aqui... Se eu tivesse 1 negativo de x,
ou sen x aqui, talvez eu pudesse usar
a substituição em u. Mas como eu consigo
a antiderivada do cos x³? A saída é usar algumas
identidades trigonométricas. E o que eu quero dizer com isso? Nós sabemos que sen² x + cos² x = 1. Se subtrairmos sen² dos dois lados, nós sabemos que cos² x = 1... Vou escrever dessa forma. É igual a 1 - sen² x. O que aconteceria se o cos³, que é cos² vezes cos... O que acontece se nós
pegarmos o cos²? Vou reescrever aqui. Isto aqui é a mesma coisa que (cos x) vezes (cos² x) dx. E se nós pegássemos esta coisa aqui... Deixe-me fazer na cor magenta. E se nós pegarmos isto
e trocarmos com isto? Eu sei o que você está pensando. O que isto fará por mim? Até parece que eu estou
integrando ainda mais. Eu sei que parece que vai ficar
mais complicado, mas assim que você explorar
e brincar com isto, verá que isto torna a integral mais fácil. Vamos tentar! Se nós fizermos isto,
então será igual a: ∫ (cos x) vezes (1 - sen² x) dx. E isto será igual ao quê? Isso será igual a... Deixe-me fazer isso de verde. Isso será igual a ∫ (cos x). Eu só vou distribuir o cos x. Então, fica assim: cos x menos cos x vezes sen² x. Então, eu posso fechar os parênteses
e escrever o dx. Isto, é claro, será igual a: ∫ cos x dx... Nós sabemos o que será. Será menos
∫ cos x sen² x dx. Agora, vai ficar interessante. Esta parte aqui é muito conveniente. A antiderivada do cos x = sen x. Então, isto será sen x. Eu vou me preocupar com +C no final,
porque ambas terão +C. Sendo assim, simplesmente coloco
um grande +C no final. Isto é sen x. Então, o que está acontecendo aqui? Você deve reconhecer,
eu tenho uma função do sen x. Eu estou pegando o sen x
e elevando a 2. Então, tenho o seno dos x
derivados aqui. Isso significa que eu tenho
alguma derivada da função. Então, eu tenho outra... Acho que você pode dizer que
eu tenho uma função desta função. Então, g(f(x)). Isto é sinal de que talvez
a substituição por u esteja correta. Nós já vimos este padrão várias vezes! Poderíamos dizer: "Ok, se tivermos
uma função de uma função, e se tivermos funções derivativas, essencialmente, podemos pegar a
antiderivativa relacionada a esta função." Isto é igual a dizer que o G maiúsculo
é a antiderivativa do g minúsculo. Então, G (f(x) + C. Agora, se o que eu disse
não fez sentido, podemos fazer a substituição por u e seguir por ela passo a passo. Vamos fazer isso, porque quero
que as coisas façam sentido. Esse é o propósito dos vídeos! Nós podemos dizer que u = sen x. Então, du = cos x dx. Esta parte e esta parte serão du. Então, isto será u². Isto será menos... Temos uma integral de u² du. Então, o que isto será? Nós vamos ter -u³/3,
bem aqui. E nós sabemos o que é u: u = sen x. Nós temos o sen x para esta
primeira parte da integral, para a primeira integral. Nós temos sen x, então, isso será menos... Deixe-me escrever assim: -1/3. Em vez de u³, nós sabemos que u = sen x, então, seno de x³. Agora, podemos colocar o +C. E acabamos! Nós calculamos a integral indefinida. A chave aqui é só brincar um pouco com as identidades trigonométricas para que possamos ter
a integral em um ponto que possamos usar a regra da cadeia ou possamos usar a substituição por u, que é somente outra forma
de expressar a regra da cadeia.